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Este trabajo es acerca de la dimensión de Hausdorff de conjuntos de números reales dados por restricciones no elementales sobre sus dígitos en sistemas de representación. Los esquemas de representación aquí considerados son aquellos asociados a un sistema dinámico ([0,1],T) donde T es una transformación analítica a trozos fuertemente expansiva del intervalo. Nos hemos interesado en transformaciones con y sin memoria, por lo tanto las fracciones continuas están incluidos en el análisis. Los resultados principales se refieren a restricciones dobre los dígitos mi = mi(x), i ∈ N, x ∈ [0,1], del tipo Σ c(mix) ≤ Mn dónde c es una función positiva llamada costo y M es un número real no-negativo. Los resultados obtenidos caracterizan la dimensión de Hausdorff como la raíz de un sistema de ecuaciones del tipo F(s,w,M) = 0, G(s,w,M) = 0 con 0 ≤ s ≤ 1, w < 0 y F,G funciones reales que dependen de T y c. Se utiliza esta caracterización para obtener estimaciones numéricas y fórmulas cerradas para la dimensión en algunos ejemplos. Las principales herramientas utilizadas son los operadores de transferencia y de transferencia ponderados. Los objetos espectrales dominantes de estos operadores juegan un papel central en el análisis.

En este trabajo abordamos el estudio de algunos tópicos de Geometría Hactal y se presenta en dos partes. Comenzamos con un análisis de aspectos teóricos y prácticos de la dimensión de Hausdorff y de la dimensión de Minskowski, dado que la dimensión es un parámetro esencial para estudiar conjuntos fractales. Usando integración de medidas unidimensionales, se encuentra un método alternativo para el cálculo de la dimensión de Minkowski para cualquier conjunto acotado del plano. Este abordaje es computacionalmente más eficiente que el cálculo directo de la dimensión de Minkowski (see [NVdW94], [Tri95]). De los conjuntos en general ponemos especial interés en las curvas. Las curvas, y especialmente las “curvas fractales”, son importantes pues modelizan una amplia clase de fenómenos naturales tales como costas geográficas, señales de sonido, etc. El caso de curvas planas ha sido tratado por Tricot (ver [Tri95]) quien desarrolló un análisis de las mismas basado en parámetros geométricos asociados a conjuntos convexos. La idea es aproximar el engordado de una curva por cápsulas convexas de subarcos y, usando el diámetro y la anchura de dichas cápsulas, obtener una fórmula más simple y eficiente para el cálculo de la dimensión de Minkowski. En este trabajo se realiza un análisis geométrico para. las curvas tridimensionales y se introduce un nuevo parámetro: la anchura secundaria. Se define la clase de curvas expansivas para el caso tridimensional y se encuentra para ellas una fórmula alternativa para calcular dimensión de Minkowski. Finalmente mostramos cómo este abordaje generaliza el desarrollado por Tricot para curvas planas y analizamos las dificultades que aparecen al aumentar la dimensionalidad del espacio de base. En la Segunda Parte presentamos los fundamentos matemáticos de la Compresión Fractal de imágenes. Se revisan los principales modelos matemáticos de compresión fractal que tienen estrecha relación con nuestro trabajo y se explican diferentes modelos para el problema de compresión de imágenes. Estos modelos dependen esencialmente del espacio de representación de las imágenes con niveles de gris: pueden usar medidas o funciones definidas sobre puntos. En particular se analiza el modelo de Codificación por Bloques de J acquin (ver [Jac89]) y el modelo IFZS (ver [CFMV92]) como ejemplos de uno y otro caso. Se estudia el esquema funcional de Autosimilaridad Generalizada [CM99] como modelo teórico para resolver el problema inverso para fractales y otros conjuntos. La idea en este caso es la siguiente: dada una función, que representa una imagen o una señal, se quieren encontrar dos conjuntos finitos de funciones {ωi} 1«i«m y {φi} 1«i«m, y un operador contractivo que los involucra, tal que el punto fijo de ese operador sea una función cercana a la dada. Se presenta un modelo que combina elementos de la Autosimilaridad Generalizada con la codificación por bloques. El mismo permite mayor flexibilidad en la estructura autosimilar de la compresión fractal estandard, un mejor aprovechamiento de la redundacia de la imagen, una completa automatización del algoritmo y control del error de aproximación entre la imagen original y la reconstruida. Por último se muestra la relación entre los modelos funcionales IFZS y de Autosimilaridad Generalizada que están definidos sobre espacios funcionales esencialmente distintos.

En aplicaciones que involucran datos en alta dimensión, frecuentemente unas pocas variables contienen la mayor parte de la información relevante. Resulta así de gran importancia identificar cuál es la dimensión adecuada para considerar en el análisis. Con el objetivo de comprender este tipo de situaciones, Johnstone (2001) introdujo los modelos de covarianza spiked, en el cual todos sus autovalores son iguales, excepto por una cantidad finita y relativamente chica de ellos, digamos d, que son más grandes. El problema de estimar cuántas componentes deben ser consideradas ha sido estudiado y resuelto en el caso tradicional de p (dimensión de los datos) fijo y n (tamaño de la muestra) creciendo a infinito. En escenarios de alta dimensión, sin embargo, los estadísticos usuales ya no pueden aplicarse y la teoría estadística tradicional no resulta adecuada ni tampoco fácil de adaptar. Una de las contribuciones de esta tesis es estudiar la distribución asintótica del logaritmo del cociente de verosimilitudes bajo la hipótesis nula, para el caso de p y n tendiendo a infinito de modo que la relación p/n converge a una cantidad fija y positiva. A partir de tal distribución, se obtienen tests secuenciales para determinar la dimensión del subespacio spiked. A partir del estudio de la potencia de los tests propuestos se introduce una penalización al estadístico considerado que permite determinar la dimensión del subespacio spiked incluso para valores de p/n cercanos a 1, situación en la que otros enfoques resultan deficientes.