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En esta Tesis Doctoral se desarrollan herramientas geométricas desde el marco teórico de la geometría diferencial y de la teoría de la información para estudiar el caos cuántico y de esta forma dar una visión más completa del mismo. Para ello, en primer lugar estudiamos los fenómenos característicos del caos cuántico y de sus correspondientes escalas temporales en términos de valores medios cuánticos. Esto permitió obtener a una caracterización asintótica de fenómenos del caos cuántico expresada por: 1) la jerarquía ergódica cuántica (abreviadamente QEH, del inglés Quantum Ergodic Hierarchy), 2) una versión cuántica del Teorema de Descomposición Espectral de Sistemas Dinámicos (abreviadamente QSDT, del inglés Quantum Spectrum Decomposition Theorem), 3) la granulosidad fundamental, 4) una condición de caos en el límite clásico basada en el teorema de Pesin y 5) una derivación de los ensambles gaussianos desde el nivel mixing de la QEH.

En esta tesis, investigamos algunos aspectos de aleatoriedad y trivialidad definidos por la teoría de largo de programa. Primero abordamos la aleatoriedad y la absoluta normalidad de números reales. Ambos conjuntos de reales tienen medida de Lebesgue 1 y son nociones que implican varias propiedades de estocasticidad. A pesar de esto, no ha sido fácil dar ejemplos concretos en estas clases. Probamos que existen números absolutamente normales que son computables y damos dos algoritmos para construirlos. El primero está basado en una reformulación computable de un resultado de Sierpinski de 1916. El segundo es parte de nuestra reconstrucción de un manuscrito inédito de Turing sobre números normales. En cuanto a ejemplos de aleatoriedad, generalizamos la probabilidad de detención de Chaitin y analizamos la probabilidad de que una máquina universal se detenga y devuelva un resultado en un conjunto dado X. Estudiamos la relación entre las propiedades de X provenientes de la teoría de la computabilidad y las propiedades de aleatoriedad de la probabilidad inducida. El segundo aspecto de aleatoriedad que tratamos es el estudio de una variante de la complejidad clásica de largo de programa que no involucra oráculos, y nos preguntamos si esta noción conduce a una definición más estricta de aleatoriedad. Definimos nuestra función de complejidad en base a máquinas de Turing monótonas que realizan cómputos infinitos. Investigamos algunas propiedades de esta función y consideramos las definiciones inducidas de aleatoriedad y trivialidad. Con esta última noción caracterizamos a los reales computables. El último aspecto se vincula con la anti-aleatoriedad y la posibilidad de caracterizar a los reales llamados K-triviales con nociones que no involucren directamente a la complejidad de largo de programa libre de prefijos. Proponemos e investigamos dos nociones de lowness que tienen sus raíces puramente en la teoría de la computabilidad, reforzando otras ya existentes en la literatura. Relacionamos la complejidad de largo de programa plana C y libre de prefijos K con estas nociones, considerando variaciones de K-trivialidad y C-trivialidad. Concluimos con una lista de las principales preguntas que quedaron abiertas.

Las aplicaciones de técnicas provenientes de la Geometría Diferencial moderna y la Topología han ayudado a una mayor comprensión de los problemas provenientes de la teoría de Sistemas Dinámicos. Estas aplicaciones han reformulado la mecánica analítica y clásica en un lenguaje geométrico que junto a nuevos métodos analíticos, topológicos y numéricos conforman una nueva área de investigación en matemática y física llamada Mecánica Geométrica. La Mecánica Geométrica se configura como un punto de encuentro de disciplinas diversas como la Mecánica, la Geometría, el Análisis, el Álgebra, el Análisis Numérico, las Ecuaciones en Derivadas Parciales, entre otras. Actualmente, la Mecánica Geométrica es un área de investigación pujante con fructíferas conexiones con otras disciplinas como la Teoría de Control no-lineal y los Sistemas Dinámicos. El objetivo de la Teoría de Control es determinar el comportamiento de un sistema dinámico por medio de acciones externas de forma que se cumplan ciertas condiciones prefijadas, como por ejemplo, que haya un extremo fijo, los dos, que ciertas variables no alcancen algunos valores u otro tipo de situaciones más o menos complicadas. Las aplicaciones de la Mecánica Geométrica en Teoría de Control han causado grandes progresos de esta área de investigación. Por otro lado, los sistemas híbridos son sistemas dinámicos que poseen dos componentes particulares en su dinámica: una dinámica a tiempo continua y una dinámica discreta. Estos sistemas son capaces de modelar varios sistemas ingenieriles como por ejemplo robots bípedos y el trabajo cooperativo con drones. La teoría de reducción es uno de los temas más estudiados de la Mecánica Geométrica. El punto de partida de todos los trabajos que estudian este tema es eliminar variables asociadas con un grupo de simetrías para reducir los grados de libertad de un sistema mecánico. En Mecánica Geométrica, las variedades simplécticas son utilizadas como espacios de fases de momentos, es decir, fibrados cotangentes en un espacio de configuración Q. En ese caso, las variedades simplécticas son los espacios naturales en las cuales se realiza la formulación Hamiltoniana de la Mecánica Clásica en el sentido autónomo. Dado un grupo de Lie, si el grupo de Lie actúa en Q, entonces se puede reducir la variedad simpléctica con respecto a la correspondiente acción levantada al cotangente y la aplicación momento canónica. Una de la formulaciones modernas de la teoría de reducción es conocida como reducción simpléctica o reducción de Marsden-Weinstein. La idea principal es la siguiente: suponer que un grupo de Lie actúa simplécticamente en una variedad simpléctica y que la aplicación momento está dada. El conjunto de nivel de esta aplicación, está equipado con una 2-forma canónica cerrada que generalmente no es no-degenerada. Bajo ciertas condiciones, se puede cocientar con respecto al grupo de isotropía para así eliminar las variables degeneradas y obtener una nueva 2-forma que resulta ser simpléctica. En el marco de sistemas que dependen explícitamente del tiempo, la situación es diferente. El espacio de configuraciones es una variedad diferenciable con su parte en el conjunto de números reales. Uno puede pensar en aplicar nuevamente los resultados conocidos a este nuevo marco y realizar una teoría análoga dependiente en el tiempo. En esta Tesis, el estudio de reducción por simetrías para sistemas Lagrangianos y Hamiltonianos híbridos es desarrollado en profundidad generalizando los resultados ya conocidos. Todos los distintos procesos de reducción que aparecen en mecánica de sistemas a tiempo continuo, de una u otra manera, pueden ser llevados a cabo en el contexto híbrido y así conseguir un sistema equivalente (que luego recuperará la solución del original) más fácil de resolver. El presente trabajo de investigación incluye nuevos resultados en el área de la Mecánica Geométrica que permiten el estudio de sistemas mecánicos (en particular sobre técnicas de reducción aplicadas en distintos contextos), su aplicación a la teoría de control y a los sistemas híbridos con y sin dependencia del tiempo. Presentamos una nueva formulación geométrica para la dinámica de los sistemas mecánicos de orden superior reducidos y la existencia de términos magnéticos, tanto en estos sistemas como en los sistemas mecánicos híbridos, que aparecen luego de aplicar un proceso de reducción Hamiltoniana. El trabajo desarrollado en esta Tesis contribuye a la Mecánica de Orden Superior, la Mecánica Discreta, la Teoría de reducción, la estabilidad y reducción de los Sistemas Mecánicos Híbridos, la Geometría Cosimpléctica y la Teoría de Control Geométrico.