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En esta Tesis introducimos la teoría de NH-variedades, una extensión de la teoría clásica de variedades combinatorias al contexto no homogéneo. Las NH-variedades poseen una estructura local que consiste en versiones simpliciales de espacios euclídeos de distintas dimensiones, lo que les confiere propiedades muy parecidas a las de las variedades usuales. Nuestro trabajo permite extender los resultados principales de la teoría clásica de variedades a una clase mucho más amplia de espacios; entre estos resultados, el teorema de expansiones regulares de Alexander y la existencia de entornos regulares. A lo largo de esta Tesis exhibimos muchos ejemplos de espacios que forman parte de esta teoría pero no están incluidos en la teoría clásica. Introducimos también la noción de shelling no homogéneo y caracterizamos todas las NH-variedades shellables en el sentido de Björner y Wachs. La teoría de NH-variedades puede aplicarse al estudio de variedades clásicas y lo exhibimos en el caso concreto de la factorización de operaciones simpliciales entre variedades combinatorias (starrings, shellings y bistellar moves). En particular, se muestra que dos variedades son PL-homeomorfas si y sólo si pueden relacionarse por medio de NH-factorizaciones involucrando una sucesión de NH-variedades. En la segunda parte del trabajo analizamos la relación entre la teoría clásica y la no homogénea en el contexto de la dualidad de Alexander combinatoria. Estudiamos el dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias y mostramos que los doble duales de estos complejos son NH-bolas y NH-esferas, las versiones no homogéneas de las bolas y esferas clásicas. Además, definimos la noción de NH-bola y NH-esfera minimal, bolas y esferas no puras que satisfacen una condición de minimalidad en la cantidad de símplices maximales. Las NH-bolas y NH-esferas minimales caracterizan completamente la clase del simplex y del borde del simplex en la relación de equivalencia generada por tomar dual de Alexander. Uno de los resultados principales de este trabajo es la generalización al contexto no homogéneo de los resultados de Dong y Santos-Sturmfels sobre el tipo homotópico del dual de Alexander de las bolas y esferas combinatorias: el dual de Alexander de una NH-bola es un espacio contráctil y el dual de Alexander de una NH-esfera es homotópicamente equivalente a una esfera. Nuestra generalización muestra que el tipo homotópico del dual de Alexander es preservado para una clase mucho más amplia de espacios que los contemplados en los resultados originales de Dong y Santos-Sturmfels. Por ejemplo, incluye todas las NH-bolas y NH-esferas exhibidas (explícita o implícitamente) en esta Tesis.

En la presente tesis se estudian subvariedades de BL-álgebras. En una primera etapa, después de haber dado las nociones básicas acerca de BL-álgebras, se estudian las estructuras fundamentales dentro de las variedades de BL-álgebras: las BL-cadenas. Se prueba la descomposición de las mismas en suma ordinal de hoops de Wajsberg y se da también una descomposición en suma ordinal de su subálgebra de elementos regulares y la BL-álgebra generalizada de sus elementos densos. Una vez obtenidos estos resultados, se define una BLn-cadena como aquella que es suma ordinal de una MV-cadena finita de longitud n y una BL-cadena generalizada para luego proceder al estudio de subvariedades de BL-álgebras generadas por una de estas cadenas. Se da un método para caraterizar ecuacionalmente estas subvariedades y luego se da una descripción de las BL-álgebras libres en estas variedades sobre un conjunto arbitrario de generadores.

Tesis [Maestría] -- Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Ciencias Médicas. Escuela de Salud Pública