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La resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales y la interpolación polinomial multivariada se analizan desde el punto de vista algorítmico y de la complejidad computacional. Desde el punto de vista algorítmico se exhibe un algoritmo probabilístico que resuelve un sistema polinomial cuya complejidad bit es esencialmente cuadrática en el número de Bézout del sistema y lineal en su talla bit. Este algoritmo resuelve el sistema de entrada módulo un número primo p y aplica levantamiento p–ádico. Para esto, se establecen una serie de resultados sobre la longitud bit de un primo “lucky” p, es decir un primo para el cual la reducción del sistema de entrada módulo p preserva ciertas propiedades geométricas y algebraicas fundamentales del sistema original. Luego este algoritmo se aplica al problema de la interpolación polinomial cuando el conjunto de nodos está dado como el conjunto de ceros de un sistema polinomial, dando como resultado un procedimiento que calcula intepolantes de “bajo grado”. La complejidad bit de estos algoritmos es similar a la de los algoritmos que usan bases de Grobner o H–bases en el peor caso y en ciertos casos de interés práctico puede resultar considerablemente menor. Desde el punto de vista de la complejidad computacional se demuestran cotas inferiores para la complejidad de los problemas de interpolación polinomial. Se introduce un nuevo modelo computacional para la interpolación de Hermite–Lagrange que incluye clases no lineales de interpolantes. Este modelo incluye fenómenos de coalescencia y captura una gran variedad de conocidos problemas y algoritmos de interpolación. En este contexto, se exhiben ejemplos de problemas de interpolación con clases no lineales de interpolantes cuya complejidad es intrínsecamente exponencial, mostrando que nuestro algoritmo para interpolación polinomial multivariada es esencialmente asintóticamente óptimo para los problemas seleccionados y que nada se gana admitiendo no linealidad.

En este trabajo efectuamos un análisis de convergencia de métodos mixtos para el modelo de placas de Reissner-Mindlin, dentro de una teoría general. Esta teoría, que abarca a la mayoría de los métodos conocidos, permitió, no solo dar un marco común para el análisis de los distintos métodos, sino también obtener resultados de convergencia en aquellos casos en que no se disponía de una teoría completa. Los métodos considerados corresponden a elecciones de espacios de elementos finitos que, a pesar de la introducción de la nueva variable, conservan la estructura de desplazamientos del problema. En la Sección 2 se describe el modelo de Reissner-Mindlin, las ecuaciones que define el modelo y resultados que permiten garantizar que, si se escalan convenientemente dichas ecuaciones, las soluciones se mantienen acotadas independientemente del espesor de la placa. En la Sección 3 se consideran resultados de existencia, unicidad y regularidad de soluciones, para problemas generales de tipo mixto. También se considera la ubicación del modelo de placas en dicho contexto, y resultados específicos referidos a la regularidad de las soluciones del modelo de Reissner-Mindlin y su relación con un sistema de ecuaciones más complejo, que incluye dos ecuaciones de Poisson y un sistema de Stokes perturbado. Al comienzo de la Sección 4 se describen las dificultades numéricas que presenta este problema. En el Inciso 4.1 se desarrollan los aspectos generales correspondientes a nuestra teoría. El resultado más importante se presenta en el Teorema 4.4, en el que se dan condiciones suficientes para la convergencia de los métodos de elementos finitos aplicados al modelo de Reissner-Mindlin. Dichas condiciones pueden ser consideradas como una generalización de la propiedad de Fortin entre los espacios de discretización de desplazamientos y esfuerzo de corte. Por otra parte esta propiedad se verifica en muchos ejemplos. En el Inciso 4.2 se definen además condiciones suficientes para la construcción de métodos de elementos finitos convergentes, que generalizan las conocidas para el pro- blema límite (espesor igual a 0). En particular, se analiza la relación que existe entre la definición de los espacios discretos para el modelo de Reissner-Mindlin y los correspondientes a métodos estables para el problema de Stokes. La aplicación de la teoría a varios elementos se ejemplifica en la Sección 5. Los resultados teóricos que definen condiciones generales para la construcción de métodos mixtos convergentes se aplican en los Ejemplos 5.1 y 5.2. Las condiciones mencionadas nos permitieron introducir un nuevo método para grillas triangulares, de orden bajo que es analizado en el Ejemplo 5.1. Para este método se estudia la convergencia y se obtienen estimaciones óptimas del error. En el Ejemplo 5.2 se aplican los resultados de convergencia a un elemento rectangular de orden 2, introducido por Bathe y Brezzi, obteniéndose para este método idénticas estimaciones que las obtenidas por los autores en el caso límite. Cabe mencionar que, con técnicas similares a la utilizadas en este ejemplo, es posible extender los resultados de convergencia a una familia de elementos triangulares de mayor orden, obteniéndose estimaciones óptimas del error. Independientemente, los métodos mencionados fueron objeto de estudio. Allí se propuso también el método analizado en 5.1. El elemento de Bathe-Dvorkin es analizado en el Ejemplo 5.3. Se trata de un elemento para grillas rectangulares de bajo orden. A diferencia de los ejemplos anteriores, en este caso no es posible verificar las hipótesis que garantizan la construcción de métodos convergentes. No obstante, se demuestra la convergencia del método para el caso de redes uniformes utilizando el Teorema 4.4 mencionado previamente. La demostración requiere la utilización de resultados conocidos para el problema de Stokes que se basan en la utilización de técnicas de macroelementos. Las estimaciones del error obtenidas se efectuaron bajo condiciones de regularidad más débiles que las conocidas anteriormente y, como consecuencia de ello, se obtuvieron estimaciones óptimas, con cotas de error independientes del espesor de la placa. En el Ejemplo 5.4 se efectúa la aplicación de la teoría al estudio del método de Arnold-Falk. En este método el desplazamiento transveral es aproximado por elementos no conformes. La demostración de convergencia dada en [2] se basa en la equivalencia de las ecuaciones del modelo de Reissner-Mindlin y el complejo sistema de ecuaciones descripto en la Sección 3, y requiere la demostración de una descomposición discreta de Helmoltz y de la equivalencia entre los correspondientes sistemas discretos. La aplicación de nuestros resultados teóricos proporciona una prueba directa y más simple de la convergencia del método y permite su inclusión dentro del marco general definido por el Teorema 4.4. Finalmente, en la Sección 6, se estudia un método introducido por Zienkiewicz, Taylor, Papadopoulos y Oñate en [26]. Este método fue experimentado numéricamente en [22], pero no se conocían resultados de convergencia. Como consecuencia de nuestro análisis, se demuestra que el método converge con orden óptimo y cotas de error independientes del espesor de la placa. Debido a que la estructura de este método no se corresponde con la de los métodos previamente analizados, la demostración de convergencia se efectúa a través de un análisis comparativo del mismo con el método analizado en el Ejemplo 5.1. Se demuestra que ambos métodos pueden ser identificados, ya que el orden de la diferencia entre sus soluciones es superior al de lo mismos, observándose que la formulación propuesta en el Ejemplo 5.1 es más simple desde el punto de vista de su implementación computacional. El trabajo de comparación se completa, mostrando resultados correspondientes a la experimentación numérica efectuada sobre ambos métodos. Los resultados obtenidos permitieron observar que el comportamiento asintótico de los errores y de la diferencia entre las soluciones de los métodos considerados, predicho por la teoría, se verifica para mallas de cálculo que se utilizan en la práctica.

Índice: - Sección I: Introducción - Sección II: Lemas de diferenciabilidad de los p-determinantes - Sección III: Relación entre el determinante y los valores de contorno de un problema elíptico - Sección IV: Relaciones entre el ζ-determinante, el determinante de Fredholm y el p-determinante - Sección V: Algunas aplicaciones

El Objetivo general de éste trabajo es reformular la fundamentación estadística de la mecánica cuántica tomando como elementos las "propiedades físicas" en lugar de las magnitudes en general. Procuramos demostrar cuánto más sencillos de demostrar y directamente interpretables aparecen muchos resultados de la mayor importancia, sin que se pierda generalidad. Por supuesto tomamos como punto de referencia el formidable libro de J. von Neumann: "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik", tan lleno de ideas aún no suficientemente explotadas y que es el cimiento obligado de cuanto edificio teórico se ha pretendido levantar en la Mecánica Cuántica. Además de la reformulación antes mencionada, hemos conseguido varios resultados particulares nuevos; entre otros la demostración de que el método Koopman (7) de tratar sistemas dinámicos puede aplicarse a la estadística cuántica, y por lo tanto valen también para ella ciertas demostraciones del teorema ergódico. Hacemos también una verificación del mismo mediante la comparación de una sucesión real de mediciones con una "cadena de Markov" y damos la formulación cuántica del concepto de "transitividad métrica". Hemos también simplificado la demostración de algunos teoremas y en especial generalizado para espectros continuos el referente a la ley de distribución de Maxwell. Exponemos también, aunque sin detalles, dos ideas que nos parecen de gran importancia; la relación topológica entre espacios "complementarios" (coordenadas e impulsos por ejemplo), que aunque implícita en numerosos trabajos no hemos visto nunca enunciada claramente, y la distinción entre el tiempo del sistema y del observador, que permite recobrar la simetría relativista. Nueva es también la comparación entre la lógica propia de las proyecciones, la lógica usual y la de tres valores, y además el concepto de "conjunción estadística" que exponemos en un apéndice. Teníamos también intención de utilizar el concepto estadístico de función característica de una distribución, pero encontramos que ese tema ya había sido tratado, justamente en otro trabajo de tesis, por Arnous (1), en 1947. De todos modos hemos agregado un pequeño apéndice comentando su contenido. En cambio hemos renunciado a la inclusión de un resumen de la parte matemática, pues su volumen estaría fuera de proporción con el resto del trabajo y porque existen obras sumamente claras y apropiadas para referencia, como el capítulo correspondiente del libro de v. Neumann y otras obras que se citan en una bibliografía especial. Aunque por comodidad nuestras fórmulas se refieren concretamente al espacio de Hilbert de las funciones de la clase L² (cuadrado del módulo sumable), valen siempre, con obvias modificaciones, para otros espacios de uso común. Los teoremas que daremos por conocidos pueden encontrarse en su mayor parte en el Capítulo II del libro de v. Neumann, pero en general trataremos de dar referencias explícitas.

El grafo de intersección de una familia de conjuntos es un grafo cuyos vértices son los miembros de la familia y la adyacencia es definida por la intersección no vacía de los correspondientes miembros. Los grafos de intersección son bastante conocidos y muy estudiados. Algunas clases de grafos definidas como intersección son hereditarias y pueden ser caracterizadas por subgrafos inducidos prohibidos minimales. Los elementos de las familias y las propiedades que las definen aparecen en varios contextos, modelando diferentes situaciones, inclusive de la vida real, lo que es un incentivo adicional para el estudio de estas clases. Ejemplos clásicos son los grafos de intervalos y los grafos cordales. Un grafo de intervalos es el grafo de intersección de una familia de intervalos en la recta real, o, en forma equivalente, el grafo vértice intersección de una familia de subcaminos de un camino. Llamamos Intervalos a la clase formada por los grafos de intervalos. Un grafo cordal es un grafo sin ciclos inducidos de longitud al menos cuatro. Llamamos Cordal a la clase formada por los grafos cordales. Gavril probó que un grafo es cordal si y sólo si es el grafo vértice intersección de una familia de subárboles de un árbol. Ambas clases han sido cuidadosamente estudiadas en la literatura. Con el fin de definir nuevas clases de grafos representadas por subárboles, se imponen condiciones en los árboles, subárboles y en el tamaño de la intersección. Sean h, s y t enteros positivos; una (h,s,t)-representación de un grafo G consiste de un árbol huésped T y una colección (T_v), siendo v un vértice de G, de subárboles de T, tal que: el grado máximo de T es a lo sumo h; todo subárbol T_v tiene grado máximo a lo sumo s; dos vértices v y w son adyacentes en G si y sólo si los correspondientes subárboles T_v y T_w tienen al menos t vértices en común en T. La clase de grafos que tiene una (h,s,t)-representación es denotada [h,s,t]. Cuando no hay restricción en el grado máximo de T o en el grado máximo de los subárboles, usamos h=∞ y s=∞ respectivamente. De ahí que, [∞, ∞,1] = Cordal y [2,2,1] = Intervalos. Las clases [∞,2,1] y [∞,2,2] son llamadas VPT (vertex intersection graph of paths in a tree) y EPT (edge intersection graph of paths in a tree) respectivamente. VPT y EPT son clases incomparables de grafos. Sin embargo, cuando el grado máximo del árbol huésped es tres la clase de los grafos VPT coincide con la clase de los grafos EPT. Los grafos VPT son útiles en muchas áreas, entre las cuales cabe destacar la genética, arqueología y ecología. Los grafos EPT son usados en aplicaciones de redes, donde el problema de planificación de llamadas no dirigidas en una red que es un árbol es equivalente al problema de colorear un grafo EPT. La red de comunicación está representada como un grafo no dirigido de interconexión, donde cada arista es asociada con una conexión física entre nodos. Una llamada no dirigida es un camino en la red. Cuando la red es un árbol, este modelo es claramente una representación EPT. Colorear el grafo EPT de forma tal que dos vértices adyacentes tengan distintos colores, significa que llamadas no dirigidas que comparten una conexión física tienen que planificarse en distintos momentos. En los últimos años, el estudio de las clases [h,s,t] ha merecido varias publicaciones en la literatura. El mínimo t tal que un grafo dado pertenece a [3,3,t] ha sido estudiado. Se ha demostrado que [3,3,1] = Cordal. Los [4,4,2] grafos han sido caracterizados y se da un algoritmo polinomial para su reconocimiento. Las clases [4,2,2] y [4,3,2] han sido estudiadas. La relación entre diferentes clases de grafos de intersección de caminos en un árbol también ha sido analizada. Gravril mostró que el problema de reconocer a los grafos VPT es polinomial. Por otro lado, el reconocimiento de los grafos EPT es un problema NP-completo. Esta Tesis está organizada de la siguiente forma: El Capítulo 2 contiene definiciones que serán utilizadas en los capítulos siguientes y que son necesarias para entender el texto. En el Capítulo 3 nos enfocamos en las clases [h,2,1] para cualquier h>2 fijo; estas son todas subclases de VPT. Caracterizamos a los grafos [h,2,1] usando el número cromático. Mostramos que el problema de decidir si un grafo VPT dado pertenece a [h,2,1] es NP-completo, mientras que el problema de decidir si el grafo dado pertenece a [h,2,1]-[h-1,2,1] es NP-difícil. Ambos problemas permanecen difíciles aún cuando nos restringimos a la clase VPT ∩ Split. Adicionalmente, presentamos una subclase no trivial de VPT ∩ Split en la cual estos problemas son polinomiales. El caso h=2 no es considerado porque [2,2,1]= Intervalos. Nuestros resultados se aplican para cualquier h>2 fijo, pueden ser vistos como una generalización del caso h=3 el cual coincide con la clase [3,2,1]=[3,2,2]= VPT ∩ EPT = EPT ∩ Cordal. Las clases [h,2,1], son cerradas por subgrafos inducidos, de ahí que cada una puede ser caracterizada por una familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales. Tal familia es conocida sólo para h=2 y hay algunos resultados parciales para h=3. En este Capítulo asociamos los subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1] que son VPT con los grafos (color) críticos. Describimos cómo obtener subgrafos inducidos prohibidos minimales a partir de los grafos críticos, más aún, mostramos que la familia de grafos obtenida usando nuestro procedimiento es exactamente la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1] que son VPT. Esta familia junto con la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para VPT, es la familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para [h,2,1], con h>2. En el Capítulo 4 caracterizamos la clase [h,2,1] por subgrafos inducidos prohibidos minimales para cada h>2 fijo. Cabe destacar que, tomando h=3, obtenemos una caracterización por subgrafos inducidos prohibidos minimales para la clase VPT ∩ EPT = EPT ∩ Cordal=[3,2,2]=[3,2,1]. En el Capítulo 5 damos una nueva condición necesaria para ser un grafo EPT. Para esto nos basamos en la estructura de los cliques de un grafo EPT. Además, encontramos una nueva familia de subgrafos inducidos prohibidos minimales para la clase EPT. En el Capítulo 6 nos enfocamos en los grafos EPT que pueden ser representados en un árbol con grado acotado. Respondemos negativamente una pregunta que Golumbic, Lypshteyn y Stern dejaron abierta, basándonos en la representación EPT que tienen los ciclos de un grafo EPT. Finalmente, en el Capítulo 7, damos algunas conclusiones y analizamos cuáles son los trabajos futuros que nos gustaría realizar.

Fil:Sadosky, Manuel. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina.

En este trabajo estudiamos la liberación de droga desde un dispositivo polimérico que contiene un solo tipo de droga, en forma disuelta y dispersa, dando lugar a fenómenos de difusión y disolución de manera simultánea. El modelo considera que la droga sólida se encuentra en microesferas, de igual densidad que pueden diferir en masa y volumen pero tan pequeñas que no afectan la difusión de droga disuelta. Además suponemos que las partículas de droga sólida mantienen su forma esférica al disolverse y que la matriz polimérica que contiene la droga es inerte. Matemáticamente, el dispositivo, es un conjunto acotado, abierto y conexo con frontera Lipschitz contenido en el espacio. En su frontera tenemos dos tipos de condiciones de borde: una condición de borde de tipo Robin, que es la zona de la frontera por la cual el dispositivo libera droga al medio y una condición de borde aislado de tipo Neuman. En esta tesis presentamos una deducción del modelo, demostramos la existencia de soluciones débiles bajo hipótesis generales sobre los datos del problema, y la unicidad y regularidad bajo hipótesis un poco más restrictivas. Mostramos la existencia de múltiples soluciones en algunos casos. Proponemos un método numérico para la aproximación de las soluciones y obtenemos estimaciones a priori para el error de discretización. Finalmente utilizamos el método numéricos desarrollado para obtener información cualitativa y cuantitativa acerca de las soluciones de este sistema de ecuaciones.