En esta tesis, enmarcada dentro del campo de Didáctica de la Matemática, se estudia la evolución en la conceptualización del conjunto de los números reales por parte de los estudiantes de nivel universitario. Se toma como referencia las carreras de Licenciatura y Profesorado en Matemática de la Universidad de Buenos Aires. ¿Qué se quiere expresar con “el estudio de la evolución..."? Los alumnos establecen un primer contacto con los números reales temprano en su escolaridad. En un primer momento los ven en las soluciones de problemas geométricos, como raíces cuadradas, como raíces de polinomios, estudian sus desarrollos decimales, etcétera. Pero más adelante, al comenzar los estudios en el área del análisis matemático, cuando el conjunto de los números reales se vuelve el dominio natural de las funciones, ¿qué conocimientos tienen los alumnos acerca de las propiedades de ese dominio? ¿cuáles son las propiedades que ellos reconocen de este conjunto, sobre las que descansan los aprendizajes en análisis? Ha sido de interés focalizar este estudio en una propiedad del conjunto de los números reales central para el trabajo en esa área: la completitud. La tesis tiene seis capítulos. El primero es un estudio histórico-epistemológico del surgimiento del conjunto de los números reales. Varios investigadores en Didáctica de la Matemática han señalado la relevancia del análisis epistemológico para el análisis didáctico, sus potencialidades y sus alcances (Artigue, 1990, 1992, 1995), han analizado la relación entre epistemología, matemática y educación (Sierpinska & Lerman, 1996), han estudiado ciertos aportes específicos del conocimiento de la historia a la práctica docente (Bkouche, 1997) y han alertado acerca de la utilización ingenua de la historia de la matemática en la enseñanza (Radford, 1997). El análisis hecho ha llevado a delinear una reconstrucción de la génesis histórica de la noción conjunto de los números reales, ligando problemas y preguntas de determinados períodos históricos con el estado de conocimientos y las herramientas disponibles en esos momentos, y con las diferentes conceptualizaciones producidas. La manera en la que se ha jugado la correspondencia entre números y puntos de una recta en diferentes periodos de la historia (y más generalmente, como ha evolucionado la relación entre números y magnitudes), cómo era el trabajo de los matemáticos en temas de análisis antes de que la noción de completitud del sistema de los números reales fuera enunciada, qué condiciones hicieron necesaria la formalización de esta noción, cuáles fueron las distintas respuestas que se dieron a este problema y cómo se llega a las formulaciones actuales, son las preguntas que guían este capítulo. Para aportar respuestas, se examinan diferentes momentos particularmente significativos de la historia matemática: el período euclidiano, el intermediario árabe y la Europa Medieval, el desarrollo del cálculo, los comienzos del siglo XIX y la aritmetización del análisis, el fin del mismo siglo que ve diferentes construcciones de un sistema numérico y finalmente la axiomatización de R con los trabajos de Hilbert. En las conclusiones de este capítulo se aborda el papel del método axiomático en matemática y en la enseñanza de las matemáticas, se hace una reflexión alrededor de la evolución del estatuto de una misma afirmación matemática, se analiza la relación modelo matemático —objeto modelizado, que puede representar para el trabajo matemático tanto un punto de apoyo como un obstáculo, y se analiza también la evolución de los argumentos que se consideran suficientes para validar el trabajo matemático. Con este primer capítulo se ha buscado mostrar la complejidad de las relaciones que se han dado a lo largo de la historia entre las nociones de continuidad y de completitud, y los motores principales de las evoluciones, y dar argumentos que faciliten entender la posible existencia de varios tipos de equilibrios cognitivos y niveles de conceptualización acerca de estas nociones, cuidando no caer en una visión ingenua de las relaciones entre ontogénesis y filogénesis. Este estudio también muestra que los comienzos del cálculo y su desarrollo durante tres siglos se llevaron a cabo teniendo como soporte un dominio numérico cuyas propiedades no habían sido explicitadas. La explicitación de esas propiedades supuso transitar una ruptura y una reconstrucción de la noción. La ruptura se produjo en la historia de la matemática como consecuencia de un cambio de racionalidad a partir del cual se reconoció que la base del trabajo matemático había sido empírica, y se deseó superar esa situación. El problema era entonces encontrar cómo expresar la propiedad de completitud. Dedekind encontró una manera, procurando obtener para los números algo análogo a la continuidad de la recta. Para lo cual hubo de precisar —necesariamente como un axioma- en qué consistía dicha continuidad. Cantor por su parte, así como otros matemáticos de la época, expresó la completitud vía la convergencia de sucesiones fundamentales, estableciendo además una correspondencia entre los números y los puntos de la recta y reconociendo el carácter axiomático de dicha correspondencia. Ese fue el sentido que tuvo, para los matemáticos del siglo XIX la construcción de un dominio numérico completo. A lo largo de la tesis se analiza el sentido que tiene para los alumnos y la organización institucional actuales. El segundo capitulo es una puesta al día de las investigaciones didácticas hechas por otros investigadores relacionadas con el tema, y el posicionamiento de la propia problemática. Los trabajos comentados acerca del conjunto de los números reales tratan didácticamente cuestiones vinculadas a la existencia de números irracionales, su desarrollo ilimitado y no periódico, su representación uno a uno en la recta numérica, su aparición en los cálculos de raíces, logaritmos, cálculos trigonométricos, etc. Estas cuestiones están ligadas al hecho de que con los racionales no alcanza para dar respuesta a diversos problemas que aparecen, aun tempranamente, en la escolaridad, y se requiere por lo tanto de la existencia de otros números. Otro nivel de problematización se pone de relevancia al estudiar las propiedades de R cuando se lo ve como el dominio natural del análisis matemático. Éstas se despliegan cuando se sale de lo estrictamente numérico y se trabaja con funciones, sucesiones, etc. y el interés está puesto en fundamentar las afirmaciones y en caracterizar ciertos atributos que tiene R como conjunto. Efectivamente, la completitud no es una propiedad que concierne a un número sino a un conjunto de números. Los trabajos analizados contemplan el primer nivel y no el segundo, que por otra parte es propio de la enseñanza a nivel superior. Más allá de los diferentes marcos teóricos y metodológicos que han sido tomados como referencia en los trabajos, es posible reunir al menos dos puntos de consenso entre ellos. El primero es que en los alumnos de distintos niveles de escolaridad conviven concepciones contradictorias, en cuanto a la densidad, al significado de los desarrollos infinitos, la existencia de números que verifican determinadas condiciones, la irracionalidad, la idecimalidad. Algunas de las investigaciones han mostrado que las mismas nociones funcionan bien en ciertas preguntas y no en otras. El segundo es que la representación de los números en la recta, no contribuye necesariamente a solucionar esas dificultades: muchas veces este objeto suma sus propias dificultades, las investigaciones nos han mostrado que los alumnos conceptualizan de diferentes maneras la recta numérica, por lo cual la referencia a sus atributos y propiedades no es un punto de apoyo seguro, y en algunos casos modifica completamente la problemática en juego. Los trabajos analizados constituyen en cierto modo un mapa de los conocimientos didácticos previosexistentes a esta tesis alrededor de este tema, se han tomado como punto de partida para avanzar en la caracterización de aquello que hace evolucionar las conceptualizaciones de los alumnos en relación con el segundo nivel de propiedades de R que se ha mencionado. El tercer capítulo consiste en el análisis de los aspectos matemáticos y cognitivos vinculados a la completitud de R. En el mismo se profundizan distintas vías matemáticas de entrada y de desarrollo de esa noción, dando lugar a lo que ha sido llamado Panorama Matemático; y se separan ficticiamente los aspectos cognitivos involucrados estructurándolos en seis ejes variables, con el objetivo de modelizar distintos estados de conceptualización de esta noción. Estos ejes vistos globalmente en conjunto con su estado inicial, han recibido el nombre de Panorama Cognitivo. Los mismos no son exclusivos de este concepto, pueden pensarse para otros conceptos matemáticos, pero han podido ser delineados como producto del trabajo realizado sobre la completitud, especialmente del análisis epistemológico. El Panorama Cognitivo consta de seis ejes con un origen en común, como un estado inicial o punto de partida en el cual la completitud es vista como evidente, con un apoyo fuerte en la representación gráfica o mental. A ese nivel la completitud no es identificada como un objeto matemático. Los seis ejes que admiten distintos estados se describen brevemente a continuación. Disponibilidad Técnica: este eje incluye los diferentes grados de dominio técnico sobre los elementos matemáticos, a modo de ejemplo, distintos valores en este eje son : el dominio de demostraciones de teoremas simples en los que se pone en juego la completitud, el manejo de varias caracterizaciones del supremo, el manejo de diferentes maneras de caracterizar la completitud y el conocimiento de su equivalencia, la manipulación de los objetos que le están asociados, como ser, sucesiones, sucesiones de Cauchy, encajes, cortaduras, etc., la completitud de espacios más generales. Instrumentalidad/ Objetivación: este eje valora la percepción de la completitud como una herramienta que posibilita definir números bajo ciertas condiciones, así como su reconocimiento como parte de los objetos que hacen al análisis. Necesidad: Se refiere a la comprensión de un sujeto respecto de la necesidad de incluir el axioma de completitud. De modo más general alguien que percibe que es necesario añadir un axioma para desarrollar una teoría es alguien que ha hecho una reflexión sobre la reorganización de los saberes matemáticos. Valoración/fundamentación: valora el nivel de consciencia de un sujeto acerca de la necesidad de validar en matemática, de lo que es aceptado como válido por su comunidad, de cómo se va modificando lo que es considerado como válido, de cómo esto depende de la institución en la que se lleve a cabo. Flexibilidad: Este eje valora la capacidad de un sujeto de usar una u otra caracterización de la completitud según la tarea a realizar. Posición frente a las construcciones: Este eje valora la comprensión que puede tener un sujeto acerca del sentido de que R sea construido a partir de Q, y acerca del rol de modelo que adquieren esas construcciones con relación a la construcción axiomática. El Panorama Cognitivo fue utilizado como instrumento de análisis en la realización de los últimos tres capítulos. El cuarto capítulo es un Análisis Institucional, que básicamente consiste en el análisis praxeológico (Chevallard, 1998) de cuatro materias y en su puesta en relación con el Panorama Cognitivo. Para su realización se han tenido en cuenta las preguntas siguientes: ¿Qué tipo de apariciones hace la completitud en las tareas, en las técnicas, cómo aparece, cómo se usa? ¿Qué técnicas se utilizan en la resolución de las tareas? ¿Cuánta tecnología y cuánta teoría requieren esas técnicas? ¿Se trata de técnicas que consisten en la aplicación aislada de un teorema o propiedades? En ese caso, la utilización de propiedades ¿“es llamada” desde la formulación de la tarea o permanece implícita? ¿En qué medida es necesario para desplegar la técnica el proceso de demostración de las propiedades o teoremas, en qué medida solamente el enunciado de los mismos? Con respecto al género de tareas y a su formulación, se ha tenido en cuenta si favorecen un funcionamiento del conocimiento más a nivel técnico (“hallar", “resolver”, “calcular”, ítems aislados), a nivel movilizable (“demostrar usando tal resultado", varios ítems secuenciados) o a nivel disponible (“estudiar", “analizar”, “demostrar”, etc.). En el análisis se ha buscado identificar los momentos en los que las técnicas usadas se vuelven insuficientes, así como también los puntos de equilibrio, las continuidades, rupturas y falsas continuidades. Con respecto al grado de problematización de aquello que parece evidente u observable, se tomó en cuenta la presencia de tareas que involucran un trabajo de demostración de propiedades o resultados “observables”, “evidentes” y en qué medida hay una problematización. Se analizó el papel de las representaciones utilizadas. Se hizo una interpretación de a qué parte del Panorama Matemático parece apuntar cada materia, y se analizó en qué medida las tareas contribuyen a hacer evolucionar los ejes del Panorama Cognitivo. El estudio praxeológico muestra que el tipo de tareas que llevan a cabo los alumnos en la primera materia de análisis matemático en Ia universidad en relación a la completitud, se apoya tanto en las representaciones y en la información que éstas proveen como en el uso de teoremas fuertes de cuya fundamentación pueden no preocuparse. Los alumnos en este nivel operan como si las propiedades se verificasen naturalmente, la fundamentación de las mismas les resulta un problema externo. La completitud permanece entonces en estado de preconstrucción, su explicitacíón no es requerida ni utilizada en los problemas y ejercicios. El análisis praxeológico en relación a las otras materias analizadas muestra que hay una ruptura de contrato didáctico que se produce al pasar a Análisis I de Exactas, en donde, las representaciones ya no constituyen un soporte para las argumentaciones, pero el tipo de tareas en relación a la completitud es esencialmente la misma que en la materia anterior. Los alumnos no comprenden las razones de este cambio en la medida que no se les plantean nuevas tareas en relación con este tema, asumen que deben demostrar más debido a la exigencia de sus docentes que por ser algo interesante para ellos desde el punto de vista matemático. En la materia Complementos de Análisis II hay ejercicios en los que aparecen el supremo y el ínfimo en carácter de objeto (equivalencia entre distintas definiciones, aritmética de supremos e íntimos) y también en un rol más instrumental al definir distancias. En Cálculo Avanzado hay un ejercicio en el que hay que demostrar la equivalencia entre diferentes caracterizaciones de la completitud de R, y hay ejercicios clásicos de espacios métricos completos, que pueden ser hechos sin que eso involucre hacer una reflexión. Del análisis hecho se desprende que los ejes Necesidad, Flexibilidad y Posición frente a las construcciones quedan vacantes desde la oferta de la institución, quedando, si esto ocurre, reservados para el trabajo privado del alumno. Los capitulos quinto y sexto constituyen la parte experimental de esta tesis. El quinto contiene los análisis a priori y a posteriori de varias entrevistas clínicas hechas a alumnos de las materias Análisis I, Complementos de Análisis II y Cálculo Avanzado, con el objetivo de identificar su rapport personal a la completitud (Chevallard, 1992) en términos del Panorama Cognitivo y de ponerlo en relación con los resultados del Análisis Institucional. Las preguntas que sirvieron de guión para las entrevistas tenían como objetivo acceder a: en qué medida los estudiantes piensan que es necesario demostrar el Teorema de Bolzano, y en qué medida consideran que la completitud es una herramienta necesaria para probarlo; qué piensan los estudiantes acerca de qué es la completitud, con qué problemas, teoremas, ejercicios la relacionan y cómo evoluciona esta visión a medida que avanzan por las materias; cómo interpretan el hecho de que hay distintas maneras de introducir la completitud y si las tienen disponibles; cómo interpretan el estudio de las construcciones por cortaduras de Dedekind o por sucesiones de Cauchy y cómo lo relacionan con sus conocimientos previos sobre R. El sexto capítulo releva las respuestas dadas por escrito por la mayoría de los alumnos de Análisis I, Complementos de Análisis II y Cálculo Avanzado a dos preguntas: cómo explicaría a un alumno más joven el hecho de que una sucesión creciente y acotada de números reales tiene límite y qué interpreta por completitud de R. La parte experimental que hemos llevado a cabo en este estudio muestra que la resolución de los ejercicios correspondientes a las materias y la aprobación de los parciales no alcanza para hacer que los alumnos perciban a la completitud como una condición necesaria para desarrollar el análisis matemático. Entender la completitud como una propiedad o un axioma que responde a un verdadero problema requiere situarse en cierta perspectiva que no es la mas natural, requiere también de una reflexión que no surge espontáneamente de la resolución de los ejercicios, y no parece propia de la posición de estudiante. Para la mayoría de los alumnos el hecho de hacer los problemas y ejercicios típicos de supremo no tiene por consecuencia la comprensión de que R se distingue por ser el conjunto que contiene todos los supremos de sus subconjuntos superiormente acotados. Pocos alumnos pueden percibir que las sucesiones de Cauchy provienen de la necesidad de caracterizar el tipo de sucesiones que es preciso que converja para poder desarrollar el análisis y que la completitud del conjunto tiene que ver con que el límite pertenezca al conjunto. Poquísimos encuentran sentido en la construcción de R por cortaduras de Dedekind o por sucesiones de Cauchy, y en general cuando lo encuentran, es para considerar el rol de modelo del sistema axiomático que describe a los reales. Las construcciones quedan entonces, un poco desprovistas de sentido. Uno de los objetivos de la parte experimental era identificar el rapport personal de los alumnos a la completitud en términos del Panorama Cognitivo. - El eje de Disponibilidad Técnica es el que queda menos indagado en esta tesis, por no haber incluido explícitamente en las entrevistas preguntas con resoluciones concretas, salvo el pedido a cuatro de los cinco entrevistados de Cálculo Avanzado de demostrar el teorema de Bolzano. Del estado de esos alumnos sobre este eje se puede decir que la noción de completitud no está muy presente para los alumnos a la hora de hacer esa demostración. - Con respecto al eje Instrumentalidad / Objetivación, en particular, en relación al carácter de objeto, hemos encontrado tres tipos de respuestas: respuestas dadas en términos de imágenes o representaciones, respuestas en términos de propiedades que R verifica aunque no caracterizan verdaderamente al conjunto ni son equivalentes a la completitud, respuestas en las que se caracteriza a R y a la completitud correctamente. Alumnos de las tres materias responden en términos de imágenes y en términos de propiedades que no caracterizan la completitud, en el caso de las últimas dos materias también hay respuestas en términos de ciertas propiedades que si la caracterizan: el axioma de supremo en el caso de los alumnos de Complementos y la existencia de limite de sucesiones de Cauchy en el caso de algunos alumnos de Cálculo Avanzado. La concentración de las respuestas en términos de estas últimas dos caracterizaciones es coherente con el análisis praxeológico. Queda un poco débil el carácter de objeto de la completitud por parte de los alumnos de Cálculo Avanzado, de quienes puede esperarse que tengan disponible una mayor cantidad de caracterizaciones. Parece particularmente interesante el caso de un alumno de Cálculo Avanzado, quien nos resulta un buen exponente del hecho que hacer los ejercicios de las prácticas y aprobar los parciales no necesariamente requiere ni implica que se haga una reflexión sobre lo que se está haciendo. Este alumno ha trabajado mucho con el axioma de supremo, con la propiedad de encaje, con sucesiones de Cauchy, solo por el hecho de haber hecho las prácticas de Complementos de Análisis II y de Cálculo Avanzado, pero eso no alcanza para que pueda identificar las completitud de R, ni siquiera puede decir qué es R. Con respecto al carácter de instrumento, no se ve una tendencia al avanzar con las materias en cuanto a la identificación de la completitud como herramienta necesaria en la demostración del teorema de Bolzano. También en este caso queda un poco débil el carácter de instrumento de la completitud por parte de los alumnos de Cálculo Avanzado. Nos parece pertinente relacionar esta “debilidad” con la manera en la que se expresan los alumnos en varios tramos de las entrevistas: las caracterizaciones en términos de imágenes o la idea de “completo es que no tiene huecos” para referirse a la completitud así como también la idea de “acercarse”, son un reflejo débil y no operacional de definiciones matemáticas que no favorece el trabajo matemático, aun si en parte este lenguaje pudo haber sido inducido por la situación no muy formal de entrevista. - Las posiciones sobre el eje de Necesidad fueron indagadas solamente a alumnos de Cálculo Avanzado. Las distintas caracterizaciones de la completitud no son vistas por todos los alumnos como una condición necesaria para definir a R, en algún caso no se las vincula con R, en otros casos son vistas como una condición que R verifica, en otros casos son vistas como una parte constitutiva de la definición de R. - El acceso al eje Validación/Fundamentación estuvo dado fundamentalmente dado por las respuestas a la pregunta que esencialmente indagó sobre los motivos por los cuales demostrar el teorema de Bolzano y los posibles usos de la demostración. Los alumnos de las tres materias manifestaron que en algún momento de su formación vieron como obvio este teorema, y la pregunta nos permite conocer en qué medida y cómo fueron ellos saliendo de esa situación. La heterogeneidad de las respuestas hace dificil estructurar este eje en términos de distintos niveles por materia. Esencialmente hemos encontrado tres tipos de respuestas en relación a este eje: demostrar “porque es lo que se debe hacer” (privilegiando el aspecto normativo), demostrar para convencer o convencerse separándose de la representación, demostrar para comprender la matemática en juego. Podemos suponer que el orden de estos tipos de respuesta es un orden que muestra una evolución en la racionalidad, y sería esperable que el paso por las materias siguiera esa tendencia. No es ese el resultado que obtuvimos. La mayoría de las respuestas de las tres materias están repartidas en los dos primeros tipos. Muy pocas respuestas (una por cada materia) dan razones que nos hacen ubicarlos en “demostrar para comprender mejor”. Hay varios alumnos, aun avanzados que no saben por qué es necesario demostrar el teorema de Bolzano. - No hubo suficientes respuestas que nos permitan establecer estados para el eje Flexibilidad, pero sí es interesante un pasaje de entrevista en el que se muestra que la declaración por parte de uno de los entrevistados de dos formas de expresar la completitud de R (vía el axioma de supremo y via la convergencia de sucesiones de Cauchy) no basta para que él suponga que esas dos formas son condiciones matemáticamente equivalentes. - Como tema de estudio, las construcciones de R fueron parte de los contenidos de la materia Cálculo Avanzado. Para los alumnos las construcciones cumplen roles diferentes, que reflejan distintas posiciones de la comunidad de docentes y matemáticos: en un caso parecen quedar al margen de lo que hay que saber para aprobar los trabajos prácticos de la materia, en otros se toma a las construcciones como un modelo para el sistema axiomático que define a R, en otros se recupera el sentido de construir un conjunto que sea completo. En este último caso es más fácil separarse de una visión natural y preconstruida de R y comprender el papel del axioma de completitud, que en la versión que sea dada, habilita esencialmente a definir números bajo ciertas condiciones. Otro de los objetivos de la parte experimental era analizar si subsisten las contradicciones detectadas por otros investigadores y caracterizar el conjunto que los alumnos creen utilizar. El análisis de las respuestas en entrevistas muestra claramente que muchos alumnos, casi la mitad de los entrevistados de las tres materias, asocian la noción de continuo y de completitud con la de densidad. En el caso de alumnos más avanzados ante una repregunta recuperan la respuesta, en el caso de alumnos principiantes una repregunta puede servir para poner en evidencia la confusión pero no necesariamente alcanza para remediar la situación. Hay otros casos un poco más aislados, a modo de ejemplos, para uno de los alumnos de Cálculo Avanzado alcanza con los números algebraicos para desarrollar el análisis, otro alumno duda acerca de si la completitud podría ser equivalente a densidad más no numerabilidad... estas ideas que tienen los alumnos conviven con muchas otras buenas ideas. La experimentación presentada en el Capitulo VI permite afirmar en primer lugar, que la gran mayoría de alumnos de Análisis I y una proporción importante de alumnos de Complementos de Análisis II parecen no identificar la completitud en el enunciado “toda sucesión creciente y acotada converge”, más bien parecen percibirlo como un enunciado evidente. Esto puede estar ligado al hecho de que los alumnos pueden usar teoremas fuertes derivados de la completitud, y en consecuencia no la enfrentan de modo personal. Del análisis de las dos preguntas, se puede afirmar que la mayoría de los alumnos de Complementos de Análisis II expresan la completitud de un modo que no resulta operatorio: o mediante el uso cotidiano de la palabra completo, o mediante imágenes. Este resultado muestra un desfasaje con las praxeologías a las que los alumnos se enfrentan. Será interesante pensar que tipo de ejercicios y problemas pueden generar la necesidad de adquirir otras caracterizaciones que sí sean operatorias y cómo favorecer la capacidad de reflexión y síntesis sobre lo hecho. Entre los alumnos de Cálculo Avanzado, la existencia de límite de sucesiones de Cauchy, es la caracterización de la completitud que aparece con más frecuencia, respuesta que interpretamos ocurre debido a que los alumnos han trabajado con la completitud de espacios métricos generales y pueden entonces reconocer esa característica de R. Esta tesis es un lugar en donde se ha estudiado didácticamente algo mas amplio que el aprendizaje de R y su completitud: R es un contexto, un lugar en donde estudiar un tipo de racionalidad matemática y su evolución. Cuando se habla de racionalidad, se piensa en abarcar el grado de reflexión y profundización de un sujeto sobre la matemática como disciplina, sus motores de producción, sus elementos de validación y sus modos de comunicación. Se ha elegido especialmente este contenido (la completitud de R) porque está implicado en muchas instancias que hacen a la formación de un matemático y de un profesor de matemática. Y más allá de el estudio de R, sus propiedades reflejan principios más generales que atraviesan toda la matemática: la construcción de objetos por la aproximación de otros de tipo particular, la completación de espacios métricos, la individualización de un elemento mediante un encaje, la realización de extremos, etc. El tipo de análisis y estudio llevado a cabo en esta tesis no es estadístico, es un estudio cualitativo que muestra las sutilezas de los fenómenos ligados a la enseñanza y el aprendizaje. Los alumnos entrevistados son pocos en número pero en sus respuestas se ve que aunque aprueban parciales exigentes, y lo hacen con buenas notas, dudan a la hora de saber por qué demostrar, confunden en un primer momento las nociones de densidad y completitud, sostienen que con los de “aproximarse”, es decir de plantear la distancia entre dos objetos menor que algún valor positivo. números algebraicos alcanza para desarrollar el análisis, utilizan expresiones para referirse a los objetos que no les favorece avanzar en lo operacional, no reconocen el sentido de la equivalencia de dos enunciados, aunque la hayan demostrado... Esto no debe interpretarse como una crítica al sistema, sino como un estudio que muestra la complejidad de ese sistema, poniendo de relevancia la existencia de varios estadios en la adquisición de las nociones, y varios tipos de equilibrios cognitivos conviviendo en el mismo sujeto mientras aprende.