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Scopo di questo capitolo è quello di richiamare i concetti di base relativi alle equazioni alle derivate parziali (in breve EDP). Per una più ampia trattazione si vedano [PS91], [RR04], [Pro94], [Col76], [Joh82], [Sal04].

Questo capitolo è dedicato all’introduzione di problemi ellittici ed alla loro formulazione debole. Pur essendo la nostra trattazione alquanto elementare, prima di affrontarne la lettura, il lettore che fosse completamente a digiuno di conoscenze di Analisi Funzionale è invitato a consultare l’Appendice A.

Affrontiamo in questo capitolo la risoluzione numerica dei problemi ai limiti ellittici considerati nel Cap. 2 introducendo il metodo di Galerkin. Illustreremo poi, come caso particolare, il metodo degli elementi finiti. Esso verrà ulteriormente sviluppato nei capitoli seguenti.

Come abbiamo visto nel capitolo precedente, quando si approssimano problemi ai limiti con il metodo degli elementi finiti, l’ordine di convergenza è comunque limitato dal grado dei polinomi usati, anche nel caso in cui le soluzioni siano regolari. In questo capitolo introdurremo i cosiddetti , per i quali la velocità di convergenza è limitata dalla sola regolarità della soluzione del problema (ed è di tipo esponenziale per soluzioni analitiche). Per un’analisi dettagliata rinviamo a [CHQZ06, Fun92, BM92].

In questo capitolo consideriamo problemi del tipo: dove e b sono funzioni (o costanti) assegnate. Nel caso più generale supporremo che ∈ L(), con (x) ≥ > 0, ∈ L() con (x) ≥ 0 q.o. in , b ∈ [L()], con div(b) ∈ L(), e ∈ L(). Problemi come (5.1) modellano i processi fisici di diffusione, trasporto e reazione.

In questo capitolo consideriamo equazioni della forma dove è un dominio di ℝ, = 1,2,3, = (x,) è una funzione assegnata, = (x) è un generico operatore ellittico agente sull’incognita = (x, ); sotto queste ipotesi la (6.1) è un’equazione parabolica. In molti casi si è interessati a risolverla solo per un intervallo temporale finito, diciamo per 0 < < . In tal caso la regione = × (0,) è detta nello spazio ℝ × ℝ (si veda la Fig. 6.1). Nel caso in cui = +∞, = {(x,) : x ∈ , > 0} sarà un cilindro infinito.

In questo capitolo ci occuperemo di problemi evolutivi di tipo iperbolico. Per la loro derivazione e per un’analisi approfondita si veda, ad esempio, [Sal04], Cap. 4. Noi ci limiteremo a considerarne l’approssimazione numerica con il metodo delle differenze finite, storicamente il primo ad essere utilizzato per questo tipo di equazioni. Per introdurre in modo semplice i concetti di base della teoria, buona parte della nostra presentazione riguarderà problemi dipendenti da una sola variabile spaziale.

In questo capitolo illustreremo come applicare il metodo degli elementi finiti per la discretizzazione spaziale e/o temporale di equazioni iperboliche scalari. Tratteremo sia il caso di elementi continui sia quello di elementi discontinui.

In questo capitolo introduciamo alcuni esempi di problemi iperbolici non lineari. Accenneremo ad alcune proprietà caratteristiche di tali problemi, la più rilevante essendo quella di poter ammettere soluzioni discontinue anche nel caso di dati continui. L’approssimazione numerica di questi problemi è un compito tutt’altro che facile, che affronteremo solo in parte in queste note. Ci limiteremo semplicemente ad accennare a come si possono applicare gli schemi alle differenze finite e agli elementi finiti discontinui nel caso di equazioni monodimensionali.

Le equazioni di Navier-Stokes per descrivere il moto di un fluido con densità costante in un dominio ⊂ ℝ (con = 2, 3) si scrivono nella seguente forma essendo la velocità del fluido, la pressione divisa per la densità (che in questo capitolo chiameremo semplicemente “pressione”, = la viscosità cinematica, la viscositá dinamica e è un termine forzante per unità di massa che si suppone appartenere a L(ℝ; [L()]). La prima equazione del sistema è l’equazione di bilancio della quantità di moto, la seconda è l’equazione di conservazione della massa, detta anche equazione di continuità. Il termine (·∇) descrive il processo di trasporto convettivo, mentre −div [(∇ + ∇)] descrive il processo di diffusione molecolare. Il sistema (10.1) può essere ottenuto dalle analoghe equazioni per fluidi comprimibili introdotte nel Cap. 9 supponendo costante, utilizzando l’equazione di continuità (che ora è divenuta semplicemente div = 0) per semplificare i vari termini e quindi dividendo le equazioni per . Si noti come, a differenza del caso comprimibile, non appaia in (10.2) una equazione per l’energia. Infatti, anche se in principio è possibile scrivere una equazione per l’energia anche per i fluidi incomprimibili, essa può essere completamente risolta una volta calcolato il campo di velocità tramite il sistema (10.1).