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Sobre la continuidad débil y magra en Lp (Lq) y su aplicación a operadores potenciales
Concepción Ballester Ubeda de Pereyra
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
Como se sabe Calderon y Zygmund probaron que las transformadas n-dimensionales de Hilbert H=Hf poseen las propiedades siguientes 1) H es continua Lp → Lp para todo 1 < p < ∞ 2) Para el extremo p = 1 no hay continuidad pero vale el llamado tipo debil (1,1). Este resultado fundamental recibio los complementos siguientes: a) E. Stein mostro que 1) vale todavia con medida ponderada x adx; mas aun, el probo que esto vale para las integrales singulares generales estudiadas por Calderon-Zygmund. b) Benedek-Calderon-Panzone, en su trabajo de 1962, probaron que 1) vale con normas mixtas ǁfǁpl,...,pn = ǁfǁP c) Para integrales dobles o iteradas de Hilbert vale la propiedad 1) pero segun mostro E. Stein (en su trabajo del Annals of Math. ,1961) la propiedad 2) no vale para transformadas iteradas. En a) E. Stein dejo de lado la cuestion de tipo debil en la punta p=1, y sus razonamientos no se aplican a este caso. Por otra parte en b) no se consideran medidas ponderadas, es decir falta la combinacion de a) con b). Nos parecio pues que para la armonia de la teoria convendria completar las tres cuestiones siguientes: extender a) para p=1 y tipo debil; extender este teorema de Stein para normas mixtas; y finalmente dar algun sustituto de 2) en el caso de integrales iteradas. Con una modificacion esencial en los razonamientos de Stein extendemos el teorema a) al extremo p=1. Ademas damos una nueva demostracion simplificada del teorema a) que permite extenderlo a normas mixtas, quedando asi completadas las dos primeras cuestiones. En cuanto a la tercera, nos parecio natural introducir una nocion mas general de tipo debil, que llamamos tipo magro, de modo que las transformadas dobles presenten tipo magro en la punta p=1. Para que esta nocion sea de alguna utilidad hay que exigir que para la misma valga algun teorema del tipo de Marcinkiewicz. Para la definicion de tipo magro que damos vale un teorema de interpolacion pero que no es una generalizacion completa del de Marcinkiewicz pues la hipotesis debe verificarse en 4 puntas en vez de las 2 clasicas. Estas cuestiones y otras similares para operadores potenciales nos llevaron a la necesidad de considerar la nocion de tipo debil con normas mixtas y la interpolacion correspondiente. Como se sabe el estudio sistematico de los espacios Lp con normas mixtas fue hecho en un trabajo de Benedek-Panzone en l960(seguido por un trabajo con Calderon y la tesis de Benedek), donde ellos estudian las cuestiones relativas al tipo fuerte con normas mixtas. Pero como estos autores no han considerado el caso de tipo debil, nos vimos en la necesidad de abordar el problema de interpolacion con tipos debiles y normas mixtas. Este problema parece presentar dificultades serias y solo hemos considerado algunos aspectos mas simples del mismo, en caso de normas mixtas se presentan por lo menos 5 definiciones naturales de tipo debil que llamamos semidebil, debil, debil, debil vectorial y magro. El tipo debil es el unico que se reduce al tipo debil ordinario si P=(p1,p2) con p1=p2. Contrariamente a lo que ocurre en el caso del tipo fuerte, la definicion vectorial es la mas alejada de la definicion ordinaria. El tipo magro es el mas general de todos. Logramos extender el teorema de Marcinkiewicz para el tipo semi debil; damos tambien una extension para el tipo debil o debil pero con condiciones adicionales restrictivas. Ademas reducimos el problema de la interpolacion con tipos debiles (sin las condiciones adicionales) al problema correspondiente con tipos vectoriales. Finalmente, como ya dijimos, damos tambien un teorema de interpolacion para tipos magros, pero no generaliza el teorema clasico porque exige la hipotesis en 4 puntas. Aplicando estos teoremas de interpolacion completamos las cuestiones arriba mencionadas y otras similares para operadores potenciales, de las cuales citaremos la siguiente. Como se sabe, el teorema de Sobolev Ilin afirma que la restriccion Hɤ,n/m del operador potencial Hɤ,n a Em < En es de tipo (p,s) con l/p - m/n.l/s = ɤ/n. El teorema de interpolacion con normas mixtas permite dar la siguiente generalizacion Hɤ,n/m es de tipo (q,p) → S, si l/p - m/n.l/s = ɤ/n l/q - m / n-m . l/s = ɤ-m/n-m, asi como otras propiedades de tipo de bil o magro.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1963 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1963
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