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Generalización de la definición de diferencial en el sentido de Hadamard a las aplicaciones entre dos espacios vectoriales que topologicamente son espacios L en el sentido de Frechet-Kuratowski
Susana Fernández Long de Foglio
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
La teoría de la diferencial, en el sentido de Hadamard para funciones numericas de variables numericas, ha sido extendida a las aplicaciones entre dos espacios abstractos, primero por Frechet, (l) luego por Ky-Fan(2) ,y Balanzat(3) considerando espacios en los cuales la topología estaba definida por intermedio de una distancia. Nos proponemos extender esta teoría al caso de las aplicaciones entre dos espacios vectoriales gue son topológicamente espacios L (4) y, naturalmente, con la condición de continuidad de las operaciones vectoriales. Definición l: Una aplicación x = g(λ) donde λ es un número real y x es un punto de un espacio L vectorial E , se dice diferenciable en el punto λo , si existe g'( λ.) ∈ E tal que (g(X0 + ∆λ)-g(X0))/(∆λ)= g´(λ0)+μ(∆λ) con la condición que para toda sucesión ∆λn tal que lim(h→∞) ∆λn = 0 se tenga lim (n→∞) μ(∆λn) = 0 Definición 2: Una aplicación y= f(x), donde x e y pertenecen respectivamente a dos espacios vectoriales E y F, es diferenciable en el punto X0, si existe una aplicación lineal y continua (la diferencial en el putno E X0), y= U(X) tal que cualquiera que sea la aplicación x=g(λ), λ real, diferenciable en λ0, con X0=g(λ0) la aplicación Φ (λ) = F[g(λ)] sea diferenciable y Φ´(λ0)=U[g´(λ0)] La diferenciable es única y la diferencial de una combinación lineal es la combinación lineal de las diferenciales. Tenemos los teoremas siguientes: Teorema 1: Si en el espacio L vectorial E cada punto posee un sistema fundamental numerable de entornos, toda aplicación diferenciable de E en un espacio vectorial L cualquiera es continua. En el caso general, donde E es un espacio L vectorial cualquiera, el teorema es falso. Para demostrarlo hemos construido un espacio vectorial L cuyos puntos son las sucesiones de números reales (X1 X2...Xn...), tal que todos los elementos, salvo un número finito, son nulos, El límite X = lim (m→∞) X^m , está definido por la doble condición a)lim (m→∞)Xn^m = Xn b)se pueden determinar los números n0 y h tal que para n≥n0 y m cualquiera se tiene |xn|≤h. Podemos construír en este espacio una función diferenciable no continua. En consecuencia agregaremos la condición de continuidad a la definición de diferencial Teorema 2 Sea y=f(x) , z=g(y) donde x, y, z pertenecen a tres espacios L vectoriales, dos aplicaciones diferenciales; U(x) y V(y) sus diferenciales respectivas. La aplicación a=F(x)=g[f(x)] es diferenciable y su diferencial W(x) es igual a V[U(x)]. La teoría puede extenderse a las aplicaciones de muchas variables punto del espacio producto de n espacios de las variables X1...Xn. Se tiene: Teorema 3 Si y= f(X1...Xn) es diferenciable en el punto (a1...an) las aplicaciones y = fi(xi) = f(a1...x1...an) son diferenciables en el punto xi = ai. Llamaremos diferenciales parciales de f las diferenciales de las aplicadiones fi(xi) y se tiene el resultado siguiente: Teorema4 La diferencial de una aplicación de varias variables es igual a la suma de todas sus diferenciales parciales, tanto en el caso en que las variables sean independientes como en el caso en que dependan de otras variables. Nuestra definición comprende como caso particular las de Ky-Fan (2) y Balanzat(3) (l) Journal de Mathematiques, Vol l6.(1937) 233-250 (2) Journal de Mathematigues Vol 21, (1942) 289-369 (3) Mathematicae Nothae Vol 9 (1949 ) 29-51 (4) Kuratowski-Topologie En estos espacios la condicion A puede no verificarse (5) Portugaliae Mathematicae Vol 7 (1948) 59-72Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1958 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1958
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