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Cálculo de formas de Hilbert de pesos entero y medio entero
Nicolás Sirolli Ariel Pacetti
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
En esta tesis hemos trabajado en dos temas distintos relacionados con el cálculo de formas modulares de Hilbert: el problema de calcular representantes para clases de ideales en álgebras de cuaterniones totalmente definidas, y el problema de calcular preimágenes para el mapa de Shimura en formas modulares de Hilbert. Aunque los dos temas pueden ser considerados por separado, por lo cual hemos dividido esta tesis en dos capítulos, ambos están estrechamente relacionados: el método que damos para calcular preimágenes para el mapa de Shimura depende fuertemente de la posibilidad de calcular representantes para clases de ideales. Capítulo 1: Cálculo de representantes para clases de ideales en álgebras de cuaterniones La teoía de álgebras de cuaterniones sobre cuerpos de números juega un rol central en varios cálculos relacionados con formas modulares. La idea de obtener formas modulares como series theta asociadas a ciertos retículos en álgebras de cuaterniones se retrotrae a Hecke (ver [Hec40]). Eichler y otros (ver [Eic73], [HS73], [Piz76b]) probaron que toda forma modular cuyo nivel no sea un cuadrado puede ser obtenida como una combinaci´on lineal de estas series theta, usando como retículos los ideales para cierto orden en un álgebra de cuaterniones definida. Como ideales equivalentes dan la misma serie theta, para este propósito alcanza con considerar clases de ideales. Pizer dio en [Piz80] un algoritmo para calcular los órdenes de Eichler y sus clases de ideales, el cual consiste en precalcular el número de clases del orden y luego empezar a calcular ideales (de una manera bastante aleatoria) hasta que el número de clases es alcanzado. El cálculo de formas modulares de Hilbert ha sido un tema de intensa investigación en los últimos años. Poder calcularlas es crucial para obtener evidencias numéricas para comprobar la veracidad de ciertas construcciones de la Teoría de Números que son bien conocidas sobre los números racionales pero que son todavía conjeturales sobre otros cuerpos de números, como la teoría de Eichler-Shimura. Las clases de ideales para órdenes de Eichler en álgebras de cuaterniones totalmente definidas sobre cuerpos de números totalmente reales pueden ser utilizadas para calcular formas modulares de Hilbert, como se explica en [CS01] para formas modulares de Hilbert sobre Q[√5] y en [SW05] sobre otros cuerpos cuadráticos reales, siguiendo las ideas de Pizer Todos estos métodos requieren primero encontrar un orden apropiado en una tal álgebra, y luego calcular representantes para sus clases de ideales. El propósito de nuestro trabajo es calcular ambas cosas de una manera eficiente, y en un contexto general. Concretamente, dada un álgebra de cuaterniones totalmente definida B sobre un cuerpo totalmente real F, damos un algoritmo para calcular representantes para clases de ideales para cualquier orden de Bass en B. Consideramos una vasta familia de órdenes, los órdenes de Bass. Además de los bien conocidos órdenes de Eichler, esta familia incluye los órdenes de nivel p2r+1 considerados por Pizer en [Piz76a], los órdenes utilizados en [PRV05] para calcular formas modulares de nivel p2, y los órdenes considerados en [PT07] para calcular preimágenes para tales formas bajo la correspondencia de Shimura. El resto de los órdenes de Bass son incluidos por completitud. Nuestro algoritmo, en contraste con los métodos á la Pizer, no requiere conocimientos sobre número de clases, evita el cálculo aleatorio de ideales, y evita el uso repetido de la forma norma para chequear equivalencia entre ideales, todo lo cual hace que el método sea eficiente. Como la implementación completa (en SAGE) de nuestro algoritmo está aún bajo desarrollo, no podemos hacer una comparación sistemática a gran escala de tiempos de ejecución; de todas maneras, en [PRV00] hay un algoritmo, que puede ser considerado como un caso particular del nuestro, que calcula representantes para clases de ideales para ´ordenes de nivel p2 en el álgebra sobre Q ramificada exactamente en p y en infinito. Este algoritmo tiene un rendimiento mucho mejor que el de MAGMA en algunos casos sencillos. Por ejemplo, al calcular representantes para clases de ideales para un orden de discriminante 1032 en el álgebra sobre Q ramificada exactamente en 103 e infinito, con una computadora Intel CoreTM2 CPU 6600 con 2 Gb de memoria RAM, MAGMA (V2.16-6) necesita 1254,96 segundos, mientras que las rutinas en PARI/GP (V2.5.0) tardan 0,00218 segundos. Los resultados obtenidos en este capítulo fueron enviados y aceptados para su publicación en la revista Mathematics of Computation, en un trabajo conjunto con mi director de tesis, Ariel Pacetti. Ver [PS13]. Capítulo 2: Preimágenes para el mapa de Shimura en formas modulares de Hilbert El mapa de Shimura es un mapa Hecke lineal entre formas modulares de peso medio entero y formas modulares de peso entero, introducido en [Shi73] para formas modulares clásicas y generalizado en [Shi87] a formas modulares de Hilbert, así como al contexto automorfo en trabajos de Waldspurger, Flicker y otros. Calcular preimágenes para el mapa de Shimura comenzó a ser un tema de interés a partir de las fórmulas dadas por Waldspurger, Kohnen-Zagier, Gross y otros, relacionando los valores centrales de twists de la serie L asociada a una forma modular de peso entero f con los coeficientes de una forma de peso medio entero g correspondiendo a f por el mapa de Shimura (por ejemplo, ver [BSP90]). Estas fórmulas fueron utilizadas por Tunnell en [Tun83] para resolver el clásico problema de los números congruentes. Fueron generalizadas para formas modulares de Hilbert en [Shi93a] y [BM07]. El problema de calcular preimágenes para el mapa de Shimura para formas modulares clásicas ha sido considerado, por ejemplo, en [Shi75] y [Gro87]. Nuestro método para calcular preimágenes en el caso de formas modulares de Hilbert se basa en las ideas presentes en [PT07], las cuales a su vez generalizan el método de Gross. Las preimágenes son obtenidas considerando ciertas series theta ternarias asociadas a ideales en álgebras de cuaterniones. Específicamente, damos un mapa Hecke lineal del espacio generado por las clases de ideales para un orden de discriminante D en un álgebra de cuaterniones totalmente definida al espacio de formas modulares de Hilbert de peso paralelo 3=2 y nivel 4D. Poder calcular estas clases de ideales, problema considerado en el Capítulo 1 de esta tesis, es por lo tanto crucial para nuestro método. La correspondencia entre clases de ideales en álgebras de cuaterniones y formas modulares de peso medio entero tiene su contraparte automorfa, que fue estudiada en [Wal91] sobre cuerpos de números cualesquiera, y en particular en el contexto de formas modulares de Hilbert. La ventaja de nuestro m´etodo es que, siendo más explícito, permite calcular efectivamente los coeficientes de las formas modulares de Hilbert de peso medio entero, los cuales aparecen en las fórmulas de tipo Waldspurger. Hasta donde sabemos, [Xue11] es el único resultado existente sobre cálculos con coeficientes de formas de Hilbert de peso medio entero. En este artículo el autor también sigue el método de Gross para calcular estos coeficientes con el objetivo de probar una fórmula de tipo Waldspurger, pero con varias restricciones como trabajar con formas de nivel potencia de primo y sobre un cuerpo base con número de clases impar, y sin considerar los operadores de Hecke ni la correspondencia de Shimura. Los resultados obtenidos en este capítulo fueron enviados para su publicación, de la cual se puede encontrar una versión preliminar en [Si12].Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 2013 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
2013
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