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Condiciones de continuidad de operadores potenciales generalizados, con métrica hiperbólica
Corina Eloisa Ratto de Sadosky Mischa Cotlar
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
En el trabajo presentado extendemos a operadores potenciales hiperbólicos (en espacios bidimensionales) algunas propiedades básicas de continuidad de los operadores potenciales elípticos. Los operadores potenciales elípticos o integrales fraccionarias de M. Riesz, son operadores de convulsión definidos por: (ver ecuación en la tesis) con 0<γ≤n, donde |t|=(t1^2+t2^2+...+tn^2)^1/2; siendo E^n el espacio euclídeo n-dimensional y J una constante. Un primer problema fundamental es ¿para qué clases de funciones f(x) existe esa integral y si f(x) ϵ Lp a qué clase Lq pertenece ḟγn? La respuesta a este problema implica determinar el tipo del operador. Esa respuesta ha sido dada por varios resultados de Hardy, Littlewood, Thorin, Sobolev, Zygmund, Frotsman, Du Plessis y otros (que reseñamos en los primeros parágrafos de la Primera Parte de nuestro trabajo). Si en la definición del operador consideramos n=1 y γ=0 y suprimimos el valor absoluto en el núcleo, obtenemos el operador que da la transformada de Hilbert de f(x). La transformada de Hilbert puede pues considerarse como caso límite de los operadores potenciales, con la diferencia esencial de que la transformada de Hilbert no es una integral de Lebesgue sino una integral singular o valor principal de Cauchy. A pesar de esta diferencia, la teoría de la transformada de Hilbert es del todo análoga a la de los operadores potenciales elípticos en lo que a propiedades de tipo se refiere. En nuestro trabajo no consideramos las transformadas de Hilbert y si señalamos algunos resultados en los que se pone en evidencia la referida analogía es porque en los trabajos de Sobolev, Nirenberg y otros, los teoremas de tipo de ambas teorías se combinan en las aplicaciones a ecuaciones diferenciales, permitiendo la elaboración de un método completo de acotaciones a priori. Reseñamos asimismo los resultados por Cotlar y Panzone que mostraron que las propiedades de continuidad de los operadores potenciales elípticos subsisten para operadores más generales que llamaron: potenciales elípticos generalizados. Por otra parte, M. Riesz, en sus estudios sobre ecuaciones diferenciales, introdujo los operadores potenciales hiperbólicos, definidos por: (ver definición en la tesis); es decir operadores cuyo núcleo es una potencia de la distancia hiperbólica al origen. Estos operadores potenciales hiperbólicos no habían sido estudiados hasta ahora desde el punto de vista de sus propiedades de continuidad. El interés de este estudio deriva del hecho de constatar la importancia que ha tenido el conocimiento de las características de tipo de los operadores potenciales elípticos, especialmente en las aplicaciones al estudio de las ecuaciones diferenciales elípticas. En nuestro trabajo hemos abordado el problema para el caso n=2 y hemos probado que las principales propiedades de tipo de los operadores potenciales elípticos subsisten para los hiperbólicos. Sólo la llamada propiedad de tipo débil, que el operador potencial elíptico posee para p=1, deja de valer en el caso hiperbólico, aunque hemos podido demostrar que ella subsiste en el caso particular en que el operador transforma una función definida en E en otra definida en un espacio de dimensión menor. Además hemos probado que, como los operadores potenciales elípticos, los hiperbólicos tienen la importante propiedad de ser completamente continuos, es decir de tipo compacto, si se los considera sobre dominios acotados. Más generalmente, siguiendo el método usado por Cotlar y Panzone en el caso elíptico, hemos extendido esas propiedades a operadores potenciales hiperbólicos generalizados. Sin embargo el uso de la métrica hiperbólica nos ha obligado a imponer al núcleo condiciones bastante diversas de las utilizadas en el caso elíptico. Para obtener ciertas propiedades parciales de continuidad del operador potencial hiperbólico hemos debido generalizar algunos resultados del análisis de Fourier. En particular hemos generalizado el teorema de Hardy, Littlewood, Paley. El trabajo consta, aparte una breve introducción que incluye las notaciones y definiciones generales, de dos partes: en la primera reseñamos los resultados conocidos sobre características de continuidad de los operadores potenciales elípticos y las aplicaciones de las mismas en el estudio de las ecuaciones diferenciales; en la segunda se exponen los resultados obtenidos en el estudio de los operadores potenciales hiperbólicos y potenciales hiperbólicos generalizados.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1959 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1959
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