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Algunas observaciones sobre multiplicadores, y cuestiones conexas
Juan Carlos Merlo Mischa Cotlar
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
En la teoría de los núcleos singulares de convolución se estudia cuáles son las condiciones que debe satisfacer una sucesión funcional kn para que se verifique la relación kn* f → f para determinadas funciones f, y donde la convergencia se entiende en sentido puntual o en norma L^p. Es bien sabido que 1a teoría engloba como casos particulares a ciertos núcleos clásicos, importantes en las aplicaciones, como ser los núcleos de Dirichlet, Poisson, etc. Sin embargo, sólo se suelen dar condiciones suficientes para la convergencia, pero no necesarias. En este trabajo prescindimos de la convergencia puntual, y damos condiciones necesarias y suficientes para la convergencia en norma, pero no sólo para los espacios L^p sino para los espacios de Sobolev Ll^p, y además generalizando el problema para núcleos μn que sean medidas de Radon. Daremos una idea del método seguido, prescindiendo de todo rigor. Si Tn es el operador definido mediante Tn(f) = μn*f, bajo ciertas condiciones se cumple Tn f= hn f *Ver en tesis* donde ^ indica la transformada de Fourier, y hn = μn, lo cual muestra que Tn es un operador multiplicador. El problema puede plantearse pues a grandes rasgos de esta manera: averiguar cuándo Tn está bien definido y es un operador continuo de L2^2 en L2^p, y converge hacia el operador identidad. Entonces se trata pues de un caso particular del problema siguiente: a) averiguar qué condiciones debe cumplir una función h para que sea un multiplicador de Lr^p en Ls^q; b) si Tn = T(hn) es el operador definido por el multiplicador hn, averiguar cuándo la sucesión Tn converge fuertemente. De esta cuestión, que trasciende del problema primitivamente planteado, nos ocupamos también en el trabajo. Naturalmente, la parte a) ofrece muchas dificultades, pues se trata de un problema abierto aún para el caso de multiplicadores entre espacios L^P. A continuación resumiremos brevemente el contenido del trabajo. En *ver en tesis* 3 tratamos el problema a). El principal resultado que obtenemos es un teorema que reduce el estudio de multiplicadores entre espacios de Sobolev al de los espacios de Lebesgue. Asimismo, agregamos una generalización referente a multiplicadores matriciales. Hacemos también algunas consideraciones referentes a multiplicadores entre espacios de Lebesgue. En *Ver en tesis* 4 estudiamos la topología fuerte en los espacios de multiplicadores. En primer lugar demostramos la completidad de esos espacios. Luego estudiamos la caracterización de la convergencia. Lo logramos en algunos casos particulares para multiplicadores entre espacios de Lebesgue, y respecto a los de Sobolev, de la misma manera que en la sección anterior, reducimos el problema al de los espacios de Lebesgue. En *Ver en tesis* 5 aplicamos los resultados anteriores para resolver el problema de los núcleos singulares de convolución. En *Ver en tesis* 6 resolvemos el mismo problema para la convergencia en L^2 de núcleos generados por sistemas ortogonales -que en general no serán de convolución-, dando una condición necesaria y suficiente para la completidad de sistemas. El procedimiento seguido no utiliza la teoría de multiplicadores. En las últimas secciones extendemos el problema al caso en el cual en lugar de la medida ordinaria de Lebesgue, se supone dada una medida de Radon cualquiera. En *Ver en tesis* 7 estudiamos la derivación respecto de la medida, para terminar definiendo los espacios de Sobolev correspondientes. En *Ver en tesis* 8 consideramos en primer lugar el problema de la determinación de una suma tal que la medida dada sea su medida de Haar, y con ella definimos la convolución. Esto permite introducir la definición de tranformada de Fourier, de manera que cumpla la propiedad multiplicativa. Los razonamientos han sido hechos para el caso unidimensional, agregando finalmente la generalización a varias dimensiones en algunos casos particulares.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1961 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1961
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