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Neste livro, usaremos sistematicamente noções de matemática elementar que o leitor já deverá saber, mas que poderá não recordar de imediato.

Calcular os de uma função real (isto é, as da equação = 0) é um problema que se encontra com frequência em cálculo científico. Geralmente, esta tarefa não se pode executar com um número finito de operações. Por exemplo, vimos na Secção 1.4.1 que não existem fórmulas explícitas para as raízes de um polinómio arbitrário de grau superior a quatro. A situação ainda se torna mais complexa se não for um polinómio.

Aproximar uma função consiste em substituí-la por outra função , de forma mais simples, que poderá ser usada no seu lugar. Veremos no próximo capítulo que esta estratégia é adoptada frequentemente em integração numérica onde, em vez de calcular , calcula-se de modo exacto , em que é uma função que se integra facilmente (por exemplo, um polinómio). Em outros contextos a função poderá ser apenas conhecida pelos seus valores nalguns pontos seleccionados. Nestes casos, procura-se construir uma função contínua que poderá representar a lei empírica subjacente ao conjunto finito de dados. Damos em seguida exemplos que ilustram técnicas deste tipo.

Neste capítulo, apresentam-se métodos para a aproximação numérica de derivadas e integrais de funções. No que se refere à integração, sabe-se que para uma função arbitrária nem sempre é possível encontrar uma primitiva na forma explícita. Mesmo quando é conhecida, torna-se por vezes vezes diflcil de utilizar. Trata-se, por exemplo, do caso da função = cos(4) cos(3 sin()), para a qual se tem vê-se que o cálculo do integral se transforma no cálculo, igualmente incómodo, de somar uma série. Noutros casos a função que queremos integrar ou derivar só é conhecida pelos valores que toma num conjunto finito de nós (por exemplo, quando representar os resultados de uma medição experimental), exactamente como no caso da aproximação de funções, abordado no Capítulo 3.

Nas ciências aplicadas aparecem frequentemente sistemas lineares da forma onde A é uma matriz quadrada de dimensão cujos elementos são reais ou complexos, e x, b são vectores coluna de dimensão onde x representa a incógnita e b é um vector dado. Em termos das suas componentes, a equação (5.1) escreve-se na forma

Dada uma matriz quadrada A ∈ ℂ, o problema de valores próprios consiste em determinar um escalar λ (real ou complexo) e um vector não nulo x tal que Um tal λ chama-se um de A, e x é o associado. Este último não é único; com efeito todos os seus múltiplos αx, com α ne 0 real ou complexo, são também vectores próprios associados a λ. Se x for conhecido, pode-se determinar λ usando o , onde x é o vector cuja -ésima componente é igual a .

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função desconhecida. Se todas as derivadas forem consideradas em relação a uma só variável independente chama-se , tratando-se de uma quando existirem derivadas parciais.

Os problemas de valores na fronteira são problemas diferenciais definidos num intervalo ( da recta real ou num aberto multidimensional Ω ⊂ ℝ ( = 2,3) para os quais os valores da incógnita (ou das suas derivadas) são fixados nos extremos e do intervalo, ou na fronteira ∂Ω do aberto multidimensional.

Só os números da forma ±0.1a.2 com a = 0, 1 e = ±2, ±1,0 é que pertencem ao conjunto F(2, 2, -2, 2). Para urn expoente dado, só se podem representar neste conjunto os dois números 0.10 e 0.11, e os seus simétricos. Por conseguinte, o número de elementos que pertencem a F(2, 2,-2, 2) é 20. Finalmente, ∈ = 1/2.