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L’ambiente in cui ci muoveremo nei primi tre capitoli di questo testo è l’insieme ℤ dei numeri interi. Ricordiamo che ℤ è costituito dall’insieme ℕ dei numeri naturali (zero incluso) e dai loro opposti. In molti testi ℤ viene costruito come ampliamento di ℕ e quest’ultimo può essere individuato mediante i cosiddetti assiomi di Peano , dal nome del matematico Giuseppe Peano (1858–1932) che li propose nel 1889 nel volume Arithmetices principia .

Nel capitolo precedente abbiamo visto come eseguire la divisione del numero intero n per il numero intero m > 0; si ha la decomposizione n = qm + r , 0 ≤ r < m , dove gli interi q e r sono univocamente determinati (cfr. esercizio 1.1). Con i simboli del precedente capitolo (si veda la (6)), si ha r = n mod m .

Abbiamo più volte ricordato, nei capitoli precedenti, che un numero naturale maggiore o uguale a 2 si dice primo se non ammette divisori positivi oltre l’unità e se stesso, si dice composto in caso contrario. Ogni numero pari maggiore di 2 è evidentemente composto.

In quest’ultimo capitolo ci occuperemo di numeri razionali. Ricordiamo come possa essere costruito l’insieme ℚ dei numeri razionali. Conveniamo di chiamare “frazioni” gli elementi di ℤ × ℤ*, cioè le coppie ordinate ( n, m ) con n intero e m intero non nullo; diremo che n è il numeratore e m il denominatore della frazione considerata.