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Assegnato uno spazio di probabilità (Ω, $$ \mathcal{F} $$ , P ), dove Ω denota un insieme non vuoto, $$ \mathcal{F} $$ una σ -algebra e P una misura di probabilità su Ω, si definisce: variabile aleatoria (o, brevemente, v.a.) una funzione X : Ω → ℝ tale che la controimmagine tramite X di ogni insieme Boreliano di ℝ sia in $$ \mathcal{F} $$ , ovvero tale che { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ A } ∈ $$ \mathcal{F} $$ per ogni A Boreliano di ℝ; processo stocastico una collezione di variabili aleatorie ( X _t)_ t ≥0 su (Ω, $$ \mathcal{F} $$ , P ). Se t assume valori nell’insieme ℕ dei numeri naturali, il processo viene detto a tempo discreto , mentre se t assume valori nell’insieme ℝ^+ il processo viene detto a tempo continuo .

Dato un processo stocastico ( V _t)_ t ≥0 di traiettorie a variazione limitata e data una funzione f sufficientemente regolare, è possibile definire come segue l’integrale di Z _t = f ( V _t) rispetto a dV _t 2.1 $$ \int_0^t {Z_s dV_s } = \int_0^t {f\left( {V_s } \right)dV_s } $$ , ovvero come integrale di Riemann-Stieltjes.

Consideriamo un modello di mercato in cui esistono soltanto due titoli scambiabili: un titolo non rischioso, che chiameremo con il termine generico di bond ed il cui valore indicheremo con B , e un’attività finanziaria di tipo rischioso, che chiameremo con il termine generico di stock ed il cui valore indicheremo con S .

Consideriamo ora un modello di mercato in cui siano presenti i due titoli che nel capitolo precedente abbiamo chiamato rispettivamente bond e stock, nell’ipotesi che il primo consista di un’attività finanziaria non rischiosa e il secondo di un’attività rischiosa.

Sia u una funzione di più variabili (ad esempio t, x _1, x _2, ..., x _n o, più semplicemente, t, x ): $$ \begin{gathered} u:\mathbb{R}^ + \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \hfill \\ \left( {t,x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n } \right) \mapsto u\left( {t,x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n } \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

Si definisce opzione americana un contratto che permette al possessore di acquistare (Call) o vendere (Put) un’attività finanziaria sottostante ad un prezzo di esercizio E in un qualunque momento compreso tra la data di inizio e la data di scadenza del contratto. La differenza sostanziale tra le opzioni americane e quelle europee corrispondenti consiste pertanto nella possibilità di avere un esercizio anticipato .

Definiamo opzione esotica un’opzione che non sia semplicemente un’opzione europea né un’opzione americana di tipo Call o Put.

Nei problemi di valutazione affrontati nei capitoli precedenti, il tasso di interesse privo di rischio svolgeva il ruolo di parametro del problema, assunto come noto e per lo più costante nel tempo. Questa è un’approssimazione della situazione reale che, se può avere una giustificazione per prodotti finanziari di breve durata quali sono generalmente le opzioni, diventa inadeguata al fine di valutare prodotti di durata maggiore quali, ad esempio, le obbligazioni e, più in generale, tutti i derivati sui tassi di interesse (fixed income securities). Occorre pertanto disporre di modelli di evoluzione per i tassi medesimi per i quali si ricorre a modelli di tipo stocastico.

Ci limiteremo allo studio di modelli ad un solo periodo, per i quali il “portafoglio” (che definiremo formalmente tra poco) viene definito dalla sua composizione all’istante iniziale e dove i rendimenti dei diversi titoli alla fine del periodo sono assunti essere delle variabili aleatorie. Rimandiamo il lettore interessato ad una esposizione sistematica delle nozioni e dei concetti qui di seguito richiamati molto brevemente ai testi di Barucci [1], Capiński, Zastawniak [4] e Luenberger [9].