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In questo testo si incontreranno continuamente entità matematiche elementari che dovrebbero far parte del bagaglio culturale del lettore, ma il cui ricordo è talvolta appannato.

Il calcolo degli zeri di una funzione f reale di variabile reale o delle radici dell’equazione f ( x ) = 0 è un problema assai ricorrente nel calcolo scientifico. In generale non è possibile approntare metodi numerici che calcolino gli zeri di una generica funzione in un numero finito di passi. Abbiamo ad esempio ricordato nel paragrafo 1.4.1 che un teorema dell’Algebra esclude la possibilità di calcolare con un numero finito di operazioni gli zeri di un generico polinomio di grado maggiore di 4. La situazione è ancor più complicata quando f è una funzione non polinomiale.

Approssimare una funzione f significa trovare una funzione $$ \tilde f $$ di forma più semplice che verrà usata come surrogato di f . Questa strategia è frequentemente utilizzata nell’integrazione numerica in cui invece di calcolare $$ \int_a^b {f(x)dx} $$ f ( x ) dx si calcola $$ \int_a^b {\tilde f(x)dx} $$ ove $$ \tilde f $$ sia una funzione facile da integrare (ad esempio, un polinomio), come mostreremo nel prossimo capitolo. In altri contesti, la funzione f potrebbe essere nota solo parzialmente attraverso i valori che essa assume in determinati punti. In tal caso la determinazione di $$ \tilde f $$ consentirà di approssimare con una funzione continua l’andamento della “legge f ” che ha generato l’insieme di dati. Gli esempi che seguono danno un’idea di questo approccio.

In questo capitolo proponiamo metodi per l’approssimazione numerica di derivate ed integrali di funzioni. Per quanto riguarda l’integrazione, non sempre si riesce a trovare in forma esplicita la primitiva di una funzione. Anche nel caso in cui la si conosca, potrebbe essere complicato valutarla. Ad esempio nel caso in cui f ( x ) = cos(4 x ) cos(3 sin( x )), si ha $$ \int\limits_0^\pi {f(x) dx = \pi \left( {\frac{3} {2}} \right)} ^4 \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{( - 9/4)^k }} {{k!(k + 4)!}}} ; $$ il problema del calcolo di un integrale si è trasformato in quello (altrettanto problematico) della somma di una serie. Talvolta inoltre la funzione che si vuole integrare o derivare potrebbe essere nota solo per punti (rappresentanti ad esempio il risultato di una misura sperimentale), esattamente come avviene nel caso dell’approssimazione di funzioni discussa nel Capitolo 3.

Nelle scienze applicate la risoluzione di problemi, anche complessi, viene spesso ricondotta alla risoluzione di uno o più sistemi lineari della forma (5.1) $$ Ax = b $$ dove A è una matrice quadrata di dimensione n × n di elementi a _ij, reali o complessi, mentre x e b sono vettori colonna di dimensione n che rappresentano rispettivamente il vettore soluzione ed il vettore termine noto. Il sistema (5.1) può essere riscritto per componenti come segue $$ \begin{gathered} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + ... + a_{1n} x_n = b_1 , \hfill \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + ... + a_{2n} x_n = b_2 , \hfill \\ \vdots \vdots \vdots \hfill \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + ... + a_{nn} x_n = b_n . \hfill \\ \end{gathered} $$

Consideriamo il seguente problema: data una matrice quadrata A ∈ ℂ^ n × n , trovare uno scalare λ (reale o complesso) ed un vettore x ∈ ℂ^n non nullo tali (6.1) $$ Ax = \lambda x. $$ Ogni λ che soddisfi (6.1) è detto autovalore di A , mentre x è un corrispondente autovettore . Evidentemente x non è unico in quanto se x è autovettore anche α x lo è, qualunque sia il numero α ≠ 0, reale o complesso. Qualora sia noto x , λ può essere calcolato usando il quoziente di Rayleigh $$ x*Ax/(x*x), dove x* = \bar x^T $$ è il vettore con componente i -esima pari a $$ \bar x_i $$ .

Un’equazione differenziale è un’equazione che coinvolge una o più derivate di una funzione incognita. Se tutte le derivate sono fatte rispetto ad una sola variabile indipendente avremo un’ equazione differenziale ordinaria , mentre avremo un’ equazione alle derivate parziali quando sono presenti derivate rispetto a più variabili indipendenti.

I problemi ai limiti (o ai valori al contorno) sono problemi differenziali definiti su un intervallo ( a, b ) della retta reale o in un aperto multidimensionale Ω ⊂ ℝ^d ( d = 2, 3) per i quali il valore della soluzione incognita (o delle sue derivate) è assegnato agli estremi a e b dell’intervallo o sul bordo ∂Ω della regione multidimensionale.

Soluzione 1.1 Stanno in $$ \mathbb{F} $$ (2, 2, -2,2) tutti i numeri della forma ±0.1 a _2 · 2^e con a _2 = 0,1 ed e intero compreso fra -2 e 2. Fissato l’esponente, si possono rappresentare i soli numeri 0.10 e 0.11, a meno del segno; di conseguenza, in $$ \mathbb{F} $$ (2, 2, -2, 2) sono contenuti 20 numeri. Inoltre, ∈ _ M = 1/2.