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Transformación múltiple de Weierstrass y sumabilidad de las series múltiples de Hermite y de Laguerre
Calixto Pedro Calderón
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
El propósito de este trabajo es extender al caso m-dimensional algunos de los resultados concernientes a la fórmula de inversión de la Transformación Múltiple de Weierstrass y a la sumabilidad Abel de las series múltiples Laguerre y Hermite. Existe una vinculación intrínseca entre la Transformación Múltiple de Weierstrass y la Serie Múltiple de Hermite. Un tratamiento profundo y sistemático de ambos problemas en el caso de una variable puede encontrarse en [2] y [3]. En lo que se refiere a la sumabilidad Abel de la serie simple de Hermite y de Laguerre se pueden ver teoremas de tipo general en [6], pero imponiendo fuertes restricciones en el crecimiento de la función cerca de ∞. También se dan resultados concernientes a la sumabilidad Abel de ambas series en [10], [11], [12] y [13]. Nuestro enfoque del problema presenta novedades aún en el caso 1-dimensional; por ejemplo los Teoremas Maximales asociados a las aproximaciones Abel, así como los teoremas de convergencia dominada. Tales resultados también se consiguen en lo que se refiere a la fórmula de inversión de la Transformación Múltiple de Weierstrass introducida en nuestro trabajo. El caso m-dimensional no ha sido tratado hasta ahora en ninguno de los tres problemas objeto del presente trabajo. En la parte final se dan teoremas concernientes a otros tipos de sumabilidad usando los resultados de [14]. El trabajo está dividido en tres partes. La parte I estudia problemas de carácter general concernientes a diferenciación de integrales múltiples y a convergencia de integrales singulares cuasipositivas. La parte II estudia la Transformación Múltiple de Weierstrass y la sumabilidad Abel de la Serie Múltiple de Hermite. Se dan condiciones necesarias y suficientes para que una función analítica de m variables complejas sea transformada de Weierstrass de una función de clase Lᵖg(Rᵐ), p>1. Así mismo se estudia la validez de la fórmula de inversión introducida por E. Hille en [3] en el caso de una variable, así como los teoremas maximales asociados a esta fórmula de inversión. En lo que se refiere a la sumabilidad Abel de la Serie Múltiple de Hermite, se obtienen el mismo tipo de resultados que los obtenidos por Zygmund y Marcinkiewicz para el caso de la Serie Múltiple de Fourier. La diferencia consiste en que en el caso de la Serie Múltiple de Fourier la medida base es la de Lebesgue en el cubo fundamental Q de aristas de longitud 2π y el sistema ortonormal tiene la propiedad de ser una familia de funciones uniformemente acotadas; en el caso de Hermite la medida es exp -|x|^2 dx, es decir no es invariante por traslaciones, y la familia de polinomios ortogonales no constituye una familia uniformemente acotada. Estas diferencias se traducen en las clases Lᵖg cuando 1 « p < 2. Para asegurar el hecho de poder representar a las medias Abel mediante una integral singular cuando la función es de clase Lᵖg, 1 « p < 2, hay que introducir condiciones adicionales. Finalmente se estudia la convergencia restrictiva de las medias Abel de una medida a variación total finita. La parte III trata del estudio de la sumabilidad Abel de la Serie Múltiple de Laguerre, y se extienden todos los teoremas probados para Series de Hermite a este caso. Cabe destacar que la integral singular que da la suma Abel de la serie de Laguerre es bastante más complicada que la correspondiente de Hermite, y por tanto las acotaciones de la misma insumen casi la totalidad de la parte correspondiente. Esta dificultad aparece por el hecho de que se dan teoremas generales para Series de Laguerre de parámetro arbitrario. Solamente se impone la restricción de que los parámetros αj están comprendidos en (-1,-1/2] no es tratado aquí. Sin embargo esperamos poder completar el resultado en un trabajo posterior. Finalmente, como consecuencia de la Sumabilidad Abel rectangular (nuestro caso) resultan teoremas de Sumabilidad Cesaro-Riesz-Bochner esféricas como consecuencias de teoremas probados en [14] en el caso L^2. El caso p<2 es un problema abierto. Así como el caso de convergencia ordinaria para m>1.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1969 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1969
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