Catálogo de publicaciones - tesis
Título de Acceso Abierto
Teoría de Galois para anillos graduados
Miguel Angel Ferrero Orlando E. Villamayor
publishedVersion.
Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
En este trabajo se deducen resultados para la teoría de Galois de anillos graduados con parte de grado cero conmutativa y grupo de automorfismos homogéneos de grado cero. Está dividido en tres capítulos: I.- Resultados previos. II.- Sobre teoría de Galois de anillos no conmutativos. III.- Teoría de Galois para anillos graduados. En el primer párrafo del capitulo I se deducen algunas propiedades, generalizaciones triviales, de las extensiones separables de anillos no conmutativos. En el segundo párrafo, se estudian los monoides sobre los cuales se supone dada la graduación, que se denominan monoides admisibles. Un monoide admisible es un submonoide del monoide de los elementos positivos de un grupo totalmente ordenado. Suponemos ahora, para el resto de esta introducción, que todos los monoides son admisibles. No obstante, algunas propiedades no necesitan de esta hipótesis. Si A = + iεI Ai es un anillo graduado sobre el monoide I, M = + iεI Mi es un A-módulo a derecha graduado, en el párrafo 3 se demuestra que: a) Si M es finitamente generado (proyectivo, playo) sobre A, Mo es finitamente generado (respectivamente proyectivo, playo) sobre A ̥. b) Si M es un A-anillo homogéneo (es decir, M es un anillo y existe un homomorfismo homogéneo de grado cero A --> M) separable (fielmente proyectivo) sobre A, entonces M̥ es separable (respectivamente fielmente proyectivo) sobre A ̥. En el párrafo 4 se estudian algunas propiedades de anillos graduados. Se obtiene así el resultado fundamental de este capítulo: "Sean B --> A un B-anillo graduado homogéneo con A ̥ Ϛ Z(A) (Z(A) es el centro de A), C un B-subanillo homogéneo de A el cual es separable sobre B y f: C --> A un homomorfismo homogéneo de grado cero de B-anillos. Entonces f/C̥ = 1C̥ si y solo si f = 1C". En particular, si A es B-separable y σ es un automorfismo homogéneo de grado cero de A que deja fijo B, entonces σ/A ̥ = 1A ̥ si y solo si σ = id. Por lo tanto, si G(A/B) es el grupo de todos los B-automorfismos homogéneos de grado cero de A y G(A ̥/B̥) el grupo de todos los Bo-automorfismos de A ̥, entonces G(A/B) Ϛ G(A ̥/B̥) por la aplicación σ --> σ/A ̥. En el quinto párrafo se extienden los resultados de Villamayor y Zelinski (Galois theory with infinitely many idempotents). referentes al espectro booleano de un anillo. El capítulo termina con un teorema sobre separabilidad de álgebras universales: "Si A es un anillo conmutativo, F el funtor álgebra tensorial, simétrica o exterior (más generalmente, un funtor de la categoría de A-módulos en la categoría de A-álgebras graduadas que cumple ciertas condiciones), M un A-módulo y G ҂ {id} un grupo de automorfismos de M entonces F(M) no es F(M)^G-separable". En el capítulo II se desarrolla una teoría de Galois de anillos no conmutativos, que generaliza la teoría de Chase, Harrison y Rosenberg (Galois theory and Galois cohomology of commutative rings) para el caso de anillos sin idempotentes. Si S es un anillo, G un grupo finito de automorfismos de S y R = S^G, se considera el caso en que S es Galois sobre R en el sentido de Chase, Harrison y Rosenberg (Galois fuerte). Suponemos que S verifica la condición (H) siguiente: Para cada familia finita Xi, yi, en S, Σ(i,j) xi.xj.yj.yi = Σ(i) xi.yi => Σ(i) xi.yi = 0 ó Σ(i) xi.yi = 1. Esta condición es mas restrictiva que la no existencia de idempotentes no triviales. En el párrafo 2 se prueba que, bajo estas suposiciones, S es Galois fuerte sobre R si y solo si S es R-separable. Para este caso, en el párrafo 3 se deduce el siguiente teorema de Galois: "Si S es Galois fuerte sobre R con grupo G, S verifica (H) y la aplicación traza de S en R es suryectiva, entonces existe una correspondencia biunívoca entre subgrupos de G y subanillos de S que contienen a R y son R-separables". En el párrafo 4 se estudia cierta conexión de nuestra teoría con la de Miyashita (Finite outer Galois theory of non commutative rings). Finalmente, en el último párrafo se obtienen propiedades relativas a los homomorfismos, endomorfismos y automorfismos de extensiones de Galois (fuerte). El teorema fundamental establece una representación de los homomorfismos, que generaliza la obtenida para anillos conmutativos por Chase, Harrison y Rosenberg. En el capítulo tercero se estudia la teoría de Galois de anillos graduados. El primer párrafo contiene resultados introductorios. En el segundo se obtienen propiedades del grupo de automorfismos que mas adelante son mejoradas. Para lo que sigue se supone siempre que A es un anillo graduado con A ̥ Ϛ Z(A) y B es un subanillo de A. La teoría para anillos sin idempotentes se desarrolla en el párrafo 3. En el cuarto la teoría para anillos con un número finito de idempotentes y el quinto se dedica a los anillos que contienen infinitos idempotentes. BEl párrafo 6 contiene algunos complementos. En nuestro caso, A es Galois sobre B, se entiende en el sentido debil: "A es separabla sobre B, finitamente generado y proyectivo como B-módulo a derecha y existe un grupo finito F de B-automorfismos homogéneos de grado cero de A tal que A^F = B". Si A no tiene idempotentes no triviales, A es Balois debil sobre B si y solo si A es Galois fuerte sobre B. Los resultados que se obtienen muestran que la teoría de A sobre B se reduce a la de A ̥ sobre B̥. En efecto, se prueba que: 1°) A ̥ es Galois sobre B̥ y A ~ B XB̥A ̥. 2°) G(A/B) = G(A ̥/B̥). 3°) Para cada subgrupo finito H del grupo total G, A^H ~ B XB̥A ̥^H. 4°) Valen los teoremas de Galois que caracterizan todos los anillos C tales que B Ϛ C Ϛ A y C es B-separable, conocidos para el caso conmutativo (Chase, Harrison y Rosenberg-Villamayor y Zelinski). 5°) Todo subanillo de A que contiene a B y es B-separable, es homogéneo y de la forma B XB̥C̥, con B̥ Ϛ C̥ Ϛ A ̥ y C̥ es separable sobre B̥. 6°) Todo automorfismo de A que deja fijo B es homogéneo de grado cero. Si B no tiene idempotentes, se tiene también el siguiente teorema: "A es débilmente Galois sobre B con grupo G si y solo si existe un subgrupo H de G tal que A es Galois fuerte sobre B con grupo H". Como es usual, se supone aquí que todos los anillos tienen unidad, todos los módulos son unitarios y los homomorfismos de anillos transforman la unidad en la unidad.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
No disponibles.
Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1969 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
|
Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1969
Información sobre licencias CC