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Inmersión de espacios métricos convexos en espacios euclideanos
Fausto Alfredo Toranzos Luis Antonio Santaló
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Resumen/Descripción – provisto por el repositorio digital
Una parte considerable del tratado "Theory and Applications of Distance Geometry" (Oxford, 1953) de L. M. Blumenthal, está dedicada a la consideración del siguiente problema genérico: Problema I: "Dado un espacio métrico "modelo" M, fijar condiciones en la métrica de un espacio E que permitan asegurar la existencia de una isometría f : E--->M". Un caso particular, pero importante, de este problema es: Problema II: "Idem que en Problema I, pero pidiendo que la aplicación f sea suryectiva". Los casos concretos más importantes de estos problemas se presentan cuando el modelo M es el espacio euclideano n-dimensional E^n o el espacio de Hilbert H, y el espacio a estudiar es (métricamente) convexo. En estos casos, el libro de Blumenthal resuelve exhaustivamente el problema II. En cambio en el problema I, que como el mismo Blumenthal lo destaca en la página 91 del citado libro es más general y difícil que el II, solo obtiene soluciones parciales y poco satisfactorias. El propósito central de esta tesis es dar solución completa al problema I en los casos concretos antes mencionados. Un segundo propósito, de tipo metodológico, es desarrollar una teoría de subconjuntos convexos de un espacio métrico, de eficacia análoga a la de la convexidad lineal. El primer capítulo consiste en una reseña de los antecedentes históricos del problema central y las soluciones parciales que recibió. En el segundo capítulo discutimos las interrelaciones de diversas definiciones de convexidad de espacios métricos, e introducimos una definición de subconjunto convexo de un espacio métrico, que conserva la más importante característica de la convexidad lineal, su interseccionalidad. Esto nos permite desarrollar en el siguiente capítulo una teoría de cápsula convexa análoga a la del caso lineal. Incidentalmente caracterizamos los espacio métricos cuyas bolas son convexas mediante la propiedad de que el diámetro de un conjunto arbitrario coincide con el de su cápsula convexa. El cuarto capítulo es una discusión detallada de la "propiedad euclideana débil de cuatro puntos" de Blumenthal, así como de otras propiedades más débiles que ésta, pero que, en los casos significativos coinciden con ella. En los capítulos quinto y sexto se desarrollan las herramientas básicas para atacar los problemas fundamentales. Se estudian aquí los conceptos de "cápsula afín" (análogo al de variedad linea generada), "espacio de tipo n" (análogo al de dimensión algebraica "Simplex", etc. El concepto de "punto internal" es introducido en el capítulo séptimo. La importancia de esta noción reside en que una de la diferencias metodológicas entre este trabajo y los de Blumenthal consiste en que dicho autor exige al espacio en estudio la "convexidad externa", que en nuestra terminología equivale a pedir que todo punto sea internal, restringiéndose a priori al problema II. Los resultados centrales de este capítulo son:(a) Equivalencia entre "tipo n" y "dimensión topológica n" (según Menger Urysohn); (b) Versión métrica del famoso teorema de Riesz sobre caracterización de espacios normados finito-dimensionales, por la compacidad local. En el capítulo octavo obtenemos nuestro primer teorema fundamental que responde al problema I cuando el modelo M es E^n. El procedimiento es el siguiente : (i) Definimos la noción de "funcional afín", análogo al de funcional lineal en un espacio vectorial. (ii) Bajo ciertas condiciones, una determinada familia de funcionales afines, dotada de las operaciones puntuales, es un espacio vectorial de dimensión n. (iii) El dual algebraico del espacio considerado en (iii), provisto de una métrica conveniente, es congruente con E^n. (iv) Procediendo como en el Análisis Funcional (inyección en el doble dual) podemos construir una isometría del espacio original en el espacio métrico mencionado en (iii). El resto de este capítulo consiste en varios corolarios y refinamientos del teorema fundamental. En el capítulo noveno investigamos en concepto de "subespacio de deficiencia l" análogo al de hiperplano de un espacio vectorial, y sus conexiones con las funcionales afines y los "planos de Leibniz". En el capítulo décimo estudiamos (en tres diferentes instancias) la posibilidad de extender a todo el espacio una isometría definida en un subconjunto. Utilizamos luego estos lemas para obtener una nueva demostración del teorema del capítulo VIII, y un segundo teorema fundamental en que fijamos condiciones para que el espacio dado sea isométrico a un subconjunto de H. Finalmente, en el último capítulo introducimos la noción de "espacio perfectamente estrellado", que generaliza ampliamente a la de espacio convexo, y extendemos a tales espacios los resultados de los capítulos VIII y X. El método es predominantemente geométrico, y las principales herramientas son la propiedad de Blumenthal y la teoria de convexidad.Palabras clave – provistas por el repositorio digital
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Disponibilidad
| Institución detectada | Año de publicación | Navegá | Descargá | Solicitá |
|---|---|---|---|---|
| No requiere | 1966 | Biblioteca Digital (FCEN-UBA) (SNRD) |
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Información
Tipo de recurso:
tesis
Idiomas de la publicación
- español castellano
País de edición
Argentina
Fecha de publicación
1966
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