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En el cálculo proposicional intuicionista podemos considerar los símbolos de conectivos asociados a la implicación, conjunción, disyunción y negación respectivamente. Kuznetsov introdujo un símbolo de conectivo unario nuevo (al que denominamos sucesor), agregando este símbolo en las reglas de formación de fórmulas del intuicionismo y considerando un esquema particular de axiomas. El sucesor constituye un caso particular de conectivo implícito nuevo del cálculo proposicional intuicionista (esta es una diferencia con respecto al cálculo proposicional clásico, en donde no existen conectivos implícitos nuevos). La contraparte algebraica del cálculo introducido por Kuznetsov son las álgebras de Heyting que admiten una función unaria S a la que llamamos sucesor (siendo S parte del lenguaje del álgebra). Esta función forma parte de una familia de operadores compatibles e implícitamente definidos en álgebras de Heyting. Esta tesis se divide en las siguientes tres partes: primero se desarrolla una dualidad de Priestley para álgebras de Heyting con ciertos operadores unarios adicionales y en particular para álgebras de Heyting con sucesor; segundo, se utiliza como herramienta la última dualidad mencionada para obtener propiedades de ciertas subvariedades de la variedad de álgebras de Heyting con sucesor; por último se extienden algunos resultados para el caso de retículos residuados.

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física, 2008.

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física, 2010.

La tesis trata sobre las reglas de fusión y la resolubilidad de una categoría de fusión. En la primer parte de esta tesis se aborda el interrogante de si la condición de que una categoría de fusión sea o no resoluble está determinada por sus reglas de fusión, en base a las nociones de resolubilidad y nilpotencia introducidas por P. Etingof, D. Nikshych y V. Ostrik. Probamos que la respuesta es afirmativa para algunas familias de ejemplos no resolubles que surgen de representaciones de álgebras de Hopf semisimples asociadas a factorizaciones exactas de los grupos simétrico y alternante. La segunda parte está dedicada al caso de las categorías de fusión esféricas. En este contexto también consideramos el invariante provisto por la S-matriz del centro de Drinfeld y mostramos que este invariante sí determina la resolubilidad de una categoría de fusión siempre que ésta sea de tipo grupo.

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física, 2007.

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Matemática, Astronomía y Física, 2011.

Tesis (Doctor en Matemática)--Universidad Nacional de Córdoba, Facultad de Matemática, Astronomía, Física y Computación, 2020.

En esta tesis se estudian álgebras de Nichols sobre grupos no abelianos. Un álgebra de Nichols viene dada por un par (X, q), donde X es un rack y q es un 2-cociclo en una teoría de cohomología no abeliana de racks. En este trabajo definimos racks de tipo D y demostramos que los racks simples y finitos de tipo D dan álgebras de Nichols de dimensión infinita para todo 2-cocyclo q. Muchas de las clases de conjugación de los grupos esporádicos, o de An, o de Sn son racks de tipo D. Con estos resultados y las técnicas que desarrollamos a partir de la clasificación de álgebras de Nichols de tipo diagonal de dimensión finita hecha por Heckenberger demostramos que no existen álgebras de Nichols de dimensión finita sobre G, donde G = An o G = Sn o G es un grupo simple esporádico distinto de Fi22, B o M. Como corolario, el método del levante nos da la clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre estos grupos. En un apéndice presentamos brevemente un software que desarrollamos para poder realizar cálculos relacionados con racks y álgebras de Nichols. Este software resultó ser una poderosa herramienta para crear, entender y aplicar las técnicas que dan condiciones que garantizan que un par (X, q) (o una clase de conjugación de un grupo finito dado) dé solamente álgebras de Nichols de dimensión finita.

En la primera parte de esta tesis se estudian álgebras de Nichols cuyo espacio de elementos primitivos es un módulo de Yetter-Drinfeld sobre un grupo finito. Estas álgebras son la herramienta principal en problemas de clasificación de álgebras de Hopf punteadas, y de ahí su interés. Se prueban resultados de estructura de álgebras de Nichols, cotas inferiores para sus dimensiones en función de sus elementos primitivos, y relaciones entre las dimensiones de estas álgebras con las de determinadas subálgebras. Para probar los resultados de estructura se estudian las álgebras de operadores diferenciales cuánticos. En la segunda parte, se aplican los resultados de la primera para clasificar álgebras de Hopf punteadas. Se clasifican así las álgebras de Hopf punteadas de dimensión 32 y las corradicalmente graduadas de dimensión p5, con p un primo impar. Se clasifican también las álgebras de Hopf punteadas de índice < 32, p y p², con p un primo.

Esta tesis está dedicada al estudio de representaciones por operadores acotados en espacios Lp del álgebra de Leavitt LQ de un grafo. Sean Q un grafo orientado finito por filas y LQ su álgebra de Leavitt sobre C. Para p ∈ [1,∞) consideramos la noción de representación espacial de LQ por operadores lineales y acotados en un espacio Lp(X, μ), que generaliza la introducida por N.C. Phillips par el caso en que Q es la rosa de d pétalos, y LQ el álgebra de Leavitt Ld. Para cada p consideramos la completación Op(Q) de LQ bajo la norma ||a|| := sup ρ espacial ||ρ(a)|| (a ∈ LQ). Probamos que si LQ es simple y ρ es una Lp representación espacial no nula de LQ entonces ||a||ρ := ||ρ(a)|| no depende de ρ. En particular si LQ es simple, Op(Q) = ρ(LQ) para cualquier representación espacial no nula ρ. Probamos que si Q y F son dos grafos finitos por filas, y p y q distintos, no existe un morfismo continuo de Op(Q) en Oq(F). Probamos además que Op(Q) es simple si y sólo si LQ lo es. Aquí, una Lp álgebra de operadores A se dice simple si todo morfismo no nulo de A en otra Lp álgebra de operadores es inyectivo. Esta definición de simplicidad no coincide con la de álgebras de Banach, pues podrían existir ideales cerrados que no sean el núcleo de un morfismo contractivo entre Lp álgebras de operadores, al contrario de lo que sucede en el caso de C*-álgebras. Probamos que existe una biyección entre la clase de ideales S1 invariantes en Op(Q) y el conjunto de subconjuntos de vértices hereditarios y saturados de Q. Este resultado es un análogo a la biyección ya conocida entre ideales graduados del álgebra de Leavitt y los subconjuntos de vértices hereditarios y saturados. Para Q finito por filas arbitrario, calculamos la K-teoría topológica de Op(Q) y probamos que coincide con la de la C*-álgebra de Cuntz-Krieger de Q.