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La formule des traces de Selberg, pour une surface de Riemann compacte, à courbure constante négative, est présentée habituellement comme une relation portant sur la transformée de Fourier des distributions liées aux longueurs des géodésiques périodiques, et aux valeurs propres du laplacien. De manière plus précise, soit X une telle surface de genre g ≥ 2, munie d’une métrique riemannienne, avec une courbure constante normalisée par K = −1. On note $$ \mathcal{P} $$ ’ensemble des géodésiques périodiques orientées primitives sur X , et τ( p ) la longueur d’une telle géodésique p . On note aussi Δ_X l’opérateur de Laplace-Beltrami sur X , et la suite des valeurs propres de −Δ_X est représentée sous la forme $$ 0 = \lambda _0< \lambda _1\leqslant \lambda _2\leqslant\cdots\leqslant \lambda _n\leqslant \lambda _{n + 1}\leqslant\cdots . $$ Pour tout n ≥ 0, on choisit une des racines carrées ρ _n de λ _n − _4 ^1 . Sous forme symbolique, on peut écrire comrne suit la formule de Selberg $$ \begin{array}{*{20}c} {(1)\sum\limits_{n = 0}^\infty{\cos \tau \rho _n=- \tfrac{1} {2}(g - 1)} \frac{{\cosh \tau /2}} {{\sinh ^2 \tau /2}}}\\ { + \sum\limits_{p \in \mathcal{P}} {\sum\limits_{m \ne 0} {\frac{{\tau (p)}} {{4\sinh (|m|\tau (p)/2)}}} \delta (\tau- m\tau (p));} }\\ \end{array} $$ les deux membres de cette formule contiennent des séries qui convergent au sens des distributions.

Le résultat principal de ce travail est la construction des jacobiennes généralisées (( J _ n )( n ≥ 0), (Φ_ n )( n ≥ 0)) pour une S -courbe relative X , munie d’une compactification convenable, et de l’isomorphisme $$ \mathop {\lim }\limits_{\vec n} HomS - gr(J_n^ \cdot,G) \simeq G(X), $$ pour tout S -schéma en groupes commutatif et lisse G . L’énoncé de ce résultat est donné sous forme conjecturale dans une lettre du 9/8/1960 adressée par A. Grothendieck à J.P. Serre. On obtient ainsi l’extension naturelle au cas relatif de la théorie de Rosenlicht-Serre, et on achève la première étape d’un programme de travail proposé à l’auteur par A. Grothendieck. Il s’agit d’établir une formule de dualité générale pour une courbe relative lisse X à coefficients dans un S -schéma en groupes G commutatif et plat, qui doit correspondre à celle prouveée dans [ 15 ], Exp. n°XVIII, dans le cas d’une courbe relative propre et lisse. L’aspect local de cette formule mène à la construction des jacobiennes locales des courbes formelles, et à leur propriété de factorisation universelle (cf. [ 3 ] bis) qui étend la théorie des symboles locaux au cas relatif.

Dans [ 6 ], N. Saavedra décrit certaines catégories munies d’un produit tensoriel, les catégories tannakiennes (2.8), comme catégories de représentations de gerbes (cas particulier: représentations d’un schéma en groupes). Sa démonstration est incomplète ( cf. [ 2 ] 3.15). Notre but premier est de la compléter. Je n’ai pas su rédiger un exposé court ne donnant que les arguments manquants: bien des idées de l’article sont dans [ 6 ], dues à Saavedra et, par son intermédiaire, à A. Grothendieck.

This article is concerned with developing a formalism for complexes of ℓ-adic sheaves instead of just for the sheaves themselves as was done in [SGA5:Exp.V]. The need for such a generalisation has become apparent from the theory of perverse sheaves, which by their definition are complexes of ℓ-adic sheaves. When trying to carry through such an extension one is immediately faced with two problems. On the one hand it is clear already from the case of ℓ-adic sheaves that — contrary to the case of torsion sheaves — one is not dealing with actual sheaves but rather inverse systems of sheaves. On the other hand one wants to pretend that one is dealing with sheaves and not some more abstract objects.

(a) In this paper we want to present some results and conjectures about crystalline cohomology. In particular, we shall show that many results from ℓ-adic étale cohomology have analogues, like the Lefschetz trace-formula, unipotence of monodromy, and the theory of weights. Our results are a sequel to the paper [ Fa2 ]. However, there are some differences between the approaches taken. First of all, in [ Fa2 ] we are mainly concerned with ℤ_p-valued cohomology, and show at the end how results carry over to the ℚ_p-adic theory (which works under much more general circumstances, but gives weaker results as we neglect p-torsion). Also, in [ Fa2 ] the results are fairly complete, that is we show pretty much the results one can hope for. Finally, we were mostly interested in the relation between crystalline cohomology and p -adic étale cohomology.

Soient p un nombre premier, k un corps parfait de caractéristique p, W = W(k) l’anneau des vecteurs de Witt à coefficients dans k et K _0 son corps des fractions.

In SGA 2 ([G]), A. Grothendieck introduced the notion of rectified homotopical (resp. homological) depth. He conjectured that it gives the level of comparison for the homotopy type (resp. the homology) between a complex algebraic variety and a hyperplane section, as stated in theorems of Lefschetz type for singular algebraic varieties. In the case of non-singular varieties, the rectified homotopical (resp. homological) depth equals the complex dimension of the variety. But in the case of local complete inter-sections, one can show that this is still true. In fact, using the comparison theorem of Grothendieck as formulated by Mebkhout for $$ \mathcal{D} $$ -modules in [Me], the constant sheaf $$ \underline C $$ of complex numbers on a variety which is locally a complete intersection is perverse and one can prove that the constant sheaf $$ \underline C $$ of complex numbers on the variety is perverse if and only if the rectified homological depth for the rational homology equals the complex dimension of the variety. So the rectified homological depth for the rational homology measures how far the constant sheaf $$ \underline C $$ of complex numbers on the variety is from being perverse. In this paper we give a positive answer to the conjecture of Grothendieck. Actually, we prove all the conjectures given by Grothendieck on this theme in SGA 2, except Conjecture A, which is obviously incorrect as stated, but can be easily corrected.

Let P _n be the pure braid group of the 2-sphere, with n strings ( n ≥ 3), and $$ \hat P_n $$ be its pro- ℓ completion ( ℓ : a fixed prime number). We shall study what we call the special automorphism groups of P _n and $$ \hat P_n $$ , and apply it to Galois representations of the type proposed in Grothendieck [ 7 ].

Soient k un corps de caractéristique p > 0, r un entier ≥ 0, et a = ( a _1,..., a _m) une suite d’entiers ≥ 1. Notons 5 le k -schéma paramétrant les intersections complètes lisses de dimension r et multidegré a dans ℙ _ k ^ r+m et X → S la famille universelle. Nous prouvons le résultat suivant: Théorème 0.1 . Il existe un ouvert non vide U de S tel que, pour tout s dans U, X _s soit ordinaire .

In recent years, with the progress of mathematical physics, it becomes more and more important to study systems with infinite freedom. In [ K ], we studied the flag variety of Kac-Moody Lie algebras, as a typical case of an infinite-dimensional manifold. By that study, it is revealed that the most natural language of scheme introduced by A. Grothendieck is again the most appropriate algebraic tool to deal with an infinite-dimensional manifold.